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      Merci de votre compréhension.
MichelDelord

Unité(s) et nombre(s)

17 messages dans ce sujet

Maintenant que je suis à la retraite, j'ai le temps de traiter calmement un certain nombre de sujets.

Et notamment : le mot unité a-t-il deux sens ?

Des réponses et une proposition de débat sur http://micheldelord....et-nombres.html

Bonne lecture

MD

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ça donne pas envie d'être en retraite :D

Oups désolé ;)

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ça donne pas envie d'être en retraite :D

Si ça continue comme ça, vous n'aurez peut-être pas l'occasion :)

Bonne soirée

Michel

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En revanche, si tu prends le temps de définir algébriquement les ensembles de nombres utilisés en arithmétique, tu es amené à considérer un anneau, muni de deux opérations (addition et multiplication). L'unité, c'est alors, par construction et de façon tout à fait univoque, l'élément neutre de la multiplication (pour tout n, 1 x n = n).

A la page 3 du pdf, on peut lire :

il y a bien un sens et un seul au mot unité qui est « ce que l’on compte » : en effet' date=' si l’on mesure on compte aussi des unités. Donc lorsque l’on écrit 7 mètres ou 7 maisons, l’unité est « mètre » dans le premier cas et « maison » dans le second.

Bon me direz-vous, mais lorsque l’on écrit « 7 », quelle est l’unité ? Réponse : c’est « un » ou « 1 », car lorsque l’on écrit 7, on écrit en fait sept uns - comme lorsque l’on écrit sept mètres - ou 7×1 que l’on lit « sept fois un »*. Et donc 7 désigne le nombre de uns** exactement de la même manière que 7 mètres désignait le nombre de mètres***.

* Et pas une fois sept. C’est un des cas qui fait qu’il tout à fait se méfier de l’affirmation péremptoire « 3 fois 5 doit s’écrire 5 × 3 ». J’y reviendrai mais en attendant, et j’y reviendrai aussi, on peut noter que [b']la problématique pédagogique - d’origine piagétienne - de présentation initiale de la multiplication comme « loi de composition interne du groupe multiplicatif » qui considère la multiplication comme une loi de composition interne et privilégie la commutativité et la notion d’élément neutre est un obstacle considérable à la compréhension de ce qu’est l’unité puisque - au prétexte que 3×1 = 1×3, on ne distingue pas trois fois un et une fois trois - au prétexte que 3×1 = 1× 3 = 3, on réduit le rôle de 1 au rôle « d’élément neutre de la multiplication », ce qui est vite compris comme le fait « qu’il ne change rien » alors que considéré comme unité, il est la base de tout comptage et de toute mesure.

** « Un » peut donc « prendre le pluriel ».

*** Sans oublier, mais j’y reviendrai, que « 7 mètres » est aussi un produit, ce qui fait que la question des unités est indissolublement liée à la question de la multiplication.

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Cher Caliban

Je vous recommande de lire d’abord ma réponse à un certain Verdurin ; elle répond en partie à vos affirmations

http://michel.delord...fs-verdurin.pdf

Ceci dit :

I)Je prendrais par la fin. Vous dites : « La théorie de la mesure, c’est plutôt de la physique ». Et alors ? C’est une question que je pose sérieusement.

II) « Quand on désigne le centimètre comme l'unité, comme dans "7 cm", ce n'est qu'une facilité de langage : il faudrait dire l'unité de mesure »

Pourquoi faudrait-il dire «l'unité de mesure » ? Attention : ma question est également sérieuse.

III) Vous me citez lorsque je dis « « 7 mètres » est aussi un produit » et votre commentaire est le suivant « Ben, voyons » , ce qui semble indiquer, de plus de manière fort péjorative, un net désaveu.

Et bien , j’insiste et je donne mes sources ; et si vous aviez lu la bibliographie que je donne en fin du texte, vous auriez trouvé pourquoi je dis que « 7 mètres » est un produit.

Citation :

« Une grandeur s'exprime, comme il est indiqué à l'article 6, par le produit d'un nombre (valeur numérique) et d'une unité »

Ce texte s’appuyant explicitement sur la position de James Clerck Maxwell :

« L’expression d’une grandeur est le produit de deux facteurs dont l’un, qui est une grandeur de même nature prise comme repère, s’appelle son unité, et dont l’autre, qui est le nombre de fois que l’unité est contenue dans la grandeur, s’appelle sa valeur numérique »

James Clerck Maxwel,
A treatise on electricity and magnetism
, Oxford, 1873, page 1.

Ces citations sont tirées des positions de base du BIPM, Bureau International des Poids et Mesures [ http://www.bipm.org/ ], qui sont les normes que suivent, dans le monde entier, tous les physiciens, chimistes, électroniciens, électriciens, thermodynamiciens, hydrauliciens, mécaniciens, astronomes, géologues, tous les ingénieurs de toutes les spécialités …. En bref , tous les gens sur terre qui font des calculs et utilisent des unités faisant partie du SI, ce qui n’est pas rien.

Et pas un seul mathématicien qui ait écrit au BIPM pour leur signaler que la définition fondamentale qu’ils donnent est fausse. J’espère que Caliban va, soit réparer cet oubli de la communauté des mathématiciens et écrire rapidement au BIPM pour le sortir du mauvais pas dans lequel il est, soit d’abord comprendre pourquoi 7 mètres est un produit, et ensuite l’enseigner. J

Je suppose que vous excuserez cette pointe d’humour, mais votre ton était un peu … pénible.

J’ai d’autres choses à ajouter sur les raisons qui font que 7 mètres est un produit mais pour le moment, bonne soirée

Michel Delord

PS : merci à Gurutiger notamment pour la publication de Jean Macé dont il faut absolument lire les parties qui se rapportent au débat actuel.

Modifié par MichelDelord
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Sur un autre groupe de discussion, quelqu’un - FP -me faisait remarquer ce que j’avais oublié car ça fait une bonne dizaine d’années que je n’avais pas consulté les brochures du BIPM ( dont les thèses sont assez sables ):

Ce que tu dis (je résume : ce n'est pas le mot unité qui a deux sens, mais le 1 qui a deux fonctions, unité et nombre) est aussi la position du BIPM.

Unités des grandeurs sans dimension, aussi désignées grandeurs de dimension un :

"L'unité SI cohérente de toutes les grandeurs sans dimension, ou grandeurs de dimension un, est le nombre un, ..."

"... Dans tous ces cas, l'unité peut être considérée comme étant le nombre un, unité dérivée sans dimension."

F P (il se reconnaîtra )

Michel Delord

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La passe d'armes avec Vieuxmatheux ferait-elle des petits ?

J'ai commencé à la lire. J'y reviendrai car c'est intéressant..

MD

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Je crois Caliban, que ton problème est précisément d'envisager les choses comme des passes d'arme.

C'est pourquoi j'ai interrompu notre précédente discussion.

Il n'y a jamais eu de problème à multiplier 5 heures par 20 km/h pour trouver 100 km.

Une tradition mathématique de la grande époque du formalisme voulait qu'on ne multiplie que des nombres comme tu le dis, mais ce n'est absolument pas une position unanime, et les physicien le font sans aucun problème.

Effectivement, si on fait ça, ce n'est pas de la multiplication dans le corps des réels qu'il s'agit, mais la multiplication existait bien avant l'invention du corps des réels, et le cadre dans lequel il convient de se situer pour l'enseigner n'a rien d'évident.

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Cher caliban

Merci de votre réponse.

Je n’aborde en retour qu’un point (parce que dans l’immédiat, j’ai quelques travaux manuels mais soyez sûr que j’y reviendrai), mais il est fondamental. Et vaut donc qu’on s’y arrête.

Vous dites - et dites-moi si je déforme votre pensée - : « Mais les références [que MD] donne sont limpides : ce qu'il veut dire, c'est qu'on peut considérer 7 m comme le produit d'un nombre et d'une unité, 7×m . » Et vous n’êtes manifestement pas d’accord avec cette référence. Je ne déforme pas votre pensée ?

En fait ce qui est important n’est pas que vous soyez en désaccord avec moi mais avec le BIPM lorsqu’il écrit [1] :

«
La valeur d'une grandeur s'exprime comme le produit d'un nombre par une unité ; le nombre qui multiplie l'unité est la valeur numérique de la grandeur exprimée au moyen de cette unité

Brochure sur le SI, huitième édition, section 5.3

Et je rappelle l’origine de la formulation, qui était citée par l’AFNOR :

« L’exp
ression d’une grandeur est le produit de deux facteurs dont l’un, qui est une grandeur de même nature prise comme repère, s’appelle son unité, et dont l’autre, qui est le nombre de fois que l’unité est contenue dans la grandeur, s’appelle sa valeur numérique »

James Clerck Maxwel, A treatise on electricity and magnetism, Oxford, 1873, page 1.

Vous n’êtes pas d’accord avec cette définition. Je ne déforme toujours pas votre pensée ?

Si c’est le cas, je vois au moins deux conséquences :

- vous affirmez ensuite « Je n'ai aucun problème avec les équations aux dimensions ». Certes mais la manière de traiter les équations aux dimensions couramment et normalement admise par tous les scientifiques, techniciens, etc…au niveau mondial - peu de choses, donc - est celle défendue par le BIPM et je vois mal comment on peut « ne pas avoir de problèmes avec les équations au dimension » et refuser que « la valeur d’une grandeur s'exprime comme le produit d'un nombre par une unité ». Ceci dit, nul n’est infaillible y compris le BIPM et vous avez le droit de le dire et même, si vous défendez sérieusement votre position, de leur envoyer une lettre argumentée pour leur expliquer à quel point ils se trompent sur ces questions fondamentales et de tenter de mobiliser un certain nombre de mathématiciens - puisque la vision que vous défendez semble être « mathématique » - pour vous épauler. Je ne plaisante pas : ça a été ma démarche il y a une vingtaine d’années alors que j’étais assez incompris, minoritaire, sans diplôme permettant d’en imposer puisque je n’ai qu’une simple licence d’enseignement.

- en défendant votre position, vous la transmettez obligatoirement aux élèves. Vous êtes en effet assez logique et cette position fait partie chez vous d’une problématique qui empêche de penser que 7 m est un produit, problématique que vous transmettez sûrement d’une manière ou d’une autre, même si je suis sûr que vous n’avez jamais dit en cours « 7 m n’est pas un produit »[2]. Ce qui fait qu’une conséquence fortement probable de votre enseignement est qu’un de vos élèves ne peut pas penser, lui non plus, que 7 m est un produit, surtout si la majorité tous ceux qui lui ont enseigné des mathématiques ont la même problématique, ce qui est le cas. Mais ça signifie très précisément qu’il ne peut pas comprendre comment se mènent dans le monde tous les calculs qui portent sur les grandeurs du SI [3] , c'est-à-dire tout ce qui permet non seulement de comprendre les lois physico-chimiques de la nature, mais de comprendre comment on a conçu sa maison, son téléphone , le bus, sa voiture, sa pression artérielle, etc… Est-ce grave ? Oui, pour sa « compréhension du monde ». Mais en termes de promotion sociale et d’ascenseur du même nom, ce qui est ce que recherchent essentiellement tout autant le groupe de pression des parents que les amateurs de palmarès des établissements, il peut très bien « réussir ». Et 99 % des enseignants qui enseignent les mathématiques transmettent cette vision et ça dure depuis au moins 40 ans. Donc …

Je rajoute une petite chose : comme je suis pédagogue et que je sais qu’il faut quelques artifices pour attirer l’attention de l’élève sur des questions importantes, j’avais laissé nonchalamment, c'est-à-dire dans les notes de mon texte, deux affirmations qui semblaient suffisamment stupides pour servir d’hameçons de lignes trainantes.

La première était dont j’étais sûr de l’effet était le fait d’affirmer que « 7m est un produit ». Vous y avez été attentif.

Et vous avez été aussi attentif au second point qui était mon affirmation : « Un » peut donc « prendre le pluriel ». Ce à quoi vous répondez, apparemment sûr de vous, au vu du ton employé « Les uns et les autres ? Quelle découverte ! ».

Je vous fais remarquer que vous donnez comme raison au fait que l’on peut mettre un « s » à un, c'est-à-dire le mettre au pluriel, l’existence de l’expression « les uns et les autres ». Ne serait-ce pas au contraire parce que l’on peut mettre un au pluriel que l’expression « Les uns et les autres » existe ? Mais si l'on l'on se place dans le contexte mathématique qui est bien celui de mon texte, je pensais insister -mais j'aurais dû être plus précis- sur le fait que un, l'article un qui signifie bien 1, sauf s'il est générique comme dans « Un rectangle est un quadrilatère qui ... » pouvait avoir comme pluriel uns. Si mes connaissances sont suffisantes, la raison n’en est pas, comme vous semblez vouloir le dire, complètement élémentaire.

A suivre

Cordialement

18/10/12 Michel Delord

[1] J’en profite pour donner la référence exacte actuelle, c'est-à-dire la huitième édition de 2006, alors que celle que j’avais donné précédemment venait de mon texte de 2002 « Michèle Artigue et l’âge du capitaine » http://michel.delord.../captain1-0.pdf

[2] C’est une question importante qui méritera un texte à part: comment l’enseignement d’une certaine problématique empêche de voir certaines choses ? Question vaste qui n’est pas sans rapport, a contrario, avec le fait de savoir pourquoi un élève peut garder à long terme un certain nombre de connaissances. Beaucoup parlent de méthodes : il faut que l’enseignement soit explicite, répétitif, etc, : en fait tout ce qui caractériserait le « bon enseignant » en dehors de la qualité de ce qu’il enseigne. Sans dire que la méthode n’a aucun rôle, bien sûr, je tiendrai à souligner qu’elle est peut-être primordiale pour la conservation des compétences mais pas pour celle des connaissances puisqu’il ne peut y avoir de connaissances isolées mais seulement à l’intérieur d’un système de pensée (ou d’une problématique, ce qui est une autre manière de dire la même chose). Cette problématique - qui comprend les arguments qui aboutissent au choix d’un programme défini et, une fois ce choix fait, aux arguments similaires sur le choix entre progressions -, n’a pas à être explicite pour les élèves mais doit absolument l’être autant que possible pour les enseignants en général et de manière indispensable pour ceux qui proposent des cours tout faits sous forme de fiches, de manuels, etc. Si ce n’est pas fait, la sanction vient mais la plupart du temps de manière non immédiate et sans que les raisons du problème soient claires – et ce d’autant plus qu’elles n’ont pas été explicitées précédemment. Quoi qu’il en soit, la plus grande aide que peut apporter un participant à ce type de débat, absolument nécessaire, est de veiller à la cohérence et à la précision de ses positions, puisque c’est ce qui en facilite la critique.

Revenons à la « nature » de 7m : il me semble, par exemple, que la seule définition de la multiplication comme cardinal du produit cartésien, pour le dire vite, ne permet pas et même empêche de comprendre pourquoi 7m est un produit. Mais ce n’est qu’un cas particulier du fait que c’est la pensée théorique qui permet de voir ou de ne pas voir certaines choses. C’est ce que j’expliquais dans une contribution envoyée en 2006 au groupe qui rédigeait le socle commun. J’en cite un extrait :

On constate que la démarche scientifique est définie par la succession « observation, hypothèse, expérimentation méthodique » or la démarche scientifique ne commence pas par « l’observation » mais par la maîtrise antérieure d’un corpus scientifique sans lequel on ne peut absolument rien observer. Ce qui était connu dés la fondation de l’Instruction Publique il y a 120 ans. Pour s’en convaincre, il suffit de citer l'article Observation du Dictionnaire Pédagogique de Ferdinand Buisson de 1882, qui a été relu de plus par Claude Bernard :

Deux personnes se promènent dans la campagne à la recherche d'insectes; l'une d'elles est un naturaliste; il est myope; l'autre a de bons yeux; mais ce ne sont pas des yeux d'entomologiste; lequel pensez-vous qui trouvera le plus d'insectes dans l'herbe ou dans le feuillage? C'est le myope. Il les reconnaît si instantanément, qu'il parait les deviner. L'observation doit donc toujours être éclairée par les prévisions de l'observateur; l'idée de la forme et du fait possibles nous rend seule perceptible la forme et le fait réels : il faut qu'une attente définie de l'esprit imprime aux sens une direction déterminée pour que leur activité soit fructueuse. On l'a très bien dit : le savant qui ne sait pas ce qu'il cherche ne comprend pas ce qu'il trouve ou plutôt ne trouve rien : trouver, c'est choisir et choisir c'est discerner, c'est deviner, pour tout dire, c'est déjà comprendre.

Michel Delord, Trois notes rapides sur l’enseignement des sciences en primaire, 8/03/06

[3] J’ai bien dit « Il ne pourra pas ++comprendre++ tous les calculs ». Je n’ai pas dit que, si c’était nécessaire, il ne les ferait pas, s’il est « compétent ».

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J'ai lu attentivement un certain nombre des messages de ce sujet, je m'étonne, cher Michel Delord de votre utilisation de la référence au bureau international des poids et mesures.

Que cet organisme soit une référence dans son domaine est indiscutable, mais quand il s'agit de pédagogie ou de didactique, on ne peut sans doute pas transférer ses avis sans précaution. Je perçois vos référence comme un pur argument d'autorité. On pourrait lui opposer un autre argument d'autorité en listant les savants mathématiciens qui ont défini le produit comme une loi de composition interne dans tel ou tel ensemble, possédant telle ou telle propriété, ça ne serait guère productif.

Il me semble en fait que vous commettez la même erreur que les tenants de la réforme de 1970 sur les mathématiques modernes, vous voulez introduire à tout prix dans l'enseignement une conception savante dont il n'est pas prouvé qu'elle soit plus porteuse de sens pour les élèves que celles qui ont cours actuellement.

Je crois savoir (mais ce n'est pas mon domaine) que le bureau des poids et mesures définit actuellement le mètre comme étant un certain nombre de fois la longueur d'onde d'une certaine radiation… cela impose-t-il d'utiliser cette définition à l'école, et s'y refuser doit-il être interprété comme un manque de respect envers le BIPM ?

Je vois également un argument d'autorité dans votre réponse à Caliban concernant le pluriel de un.

Selon vous, c'est parce qu'on peut mettre au pluriel le mot "un" qu'une expression telle que "les uns et les autres" est possible. Je crois au contraire que la grammaire, avant d'être une norme, est une étude de la langue. C'est bien parce qu'on constate des usages récurrents de "uns" chez des personnes ayant une bonne maîtrise de la langue française que les grammairiens ont constaté que "un" avait un pluriel. Que la grammaire soit aussi un recueil des "bons usages" n'y change rien, l'usage de la langue précède sa description.

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Bonjour vieuxmatheux

Merci de votre réponse car elle utilise des arguments fondamentaux - que je ne partage certes pas mais cependant essentiels - qui méritent donc une discussion sérieuse que nous avons tout à fait le temps de mener progressivement[1].

Veuillez donc considérer les lignes suivantes non pas comme une réponse complète aux questions que vous évoquez sur votre post - je ne dirai rien ici et pour le moment sur votre affirmation « Que cet organisme soit une référence dans son domaine est indiscutable, mais quand il s'agit de pédagogie ou de didactique, on ne peut sans doute pas transférer ses avis sans précaution » - mais comme de simples remarques que je compléterai. Il y a deux parties, l’une consacrée à vos premiers paragraphes, c'est-à-dire en gros au BIPM et l’autre, à ce que vous traitez dans votre dernier paragraphe, c’est-à-dire « uns » et la « question grammaticale ».

I) A propos du BIPM

Vous écrivez :

« Je crois savoir (mais ce n'est pas mon domaine) que le bureau des poids et mesures définit actuellement le mètre comme étant un certain nombre de fois la longueur d'onde d'une certaine radiation… cela impose-t-il d'utiliser cette définition à l'école, et s'y refuser doit-il être interprété comme un manque de respect envers le BIPM ? »

Quelques brèves remarques.

a) La question n’est pas celle d’un « manque de respect envers le BPIM », formulation qui peut être comprise de façon purement morale tant qu’on ne précise pas les raisons qui justifient ou non ce respect. Comme vous ne dites rien de ces raisons, je laisse une réponse éventuelle en suspens…

b) Vous n’êtes pas tout à fait à jour. Ce que vous donnez comme « définition actuelle du mètre par le BIPM » est celle adoptée en 1960[2] : Le mètre est la longueur égale à 1.650.763,73 longueurs d'onde dans le vide de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l'atome de krypton 86. Pour un certain nombre de raisons, la définition actuelle du mètre, adoptée en 1983 est la suivante : « Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299.792.458 de seconde. [3] »

c) Vous dites : « Je crois savoir (mais ce n'est pas mon domaine) que le bureau des poids et mesures définit actuellement le mètre comme étant un certain nombre de fois la longueur d'onde d'une certaine radiation … ». On peut constater, au vu du b) supra, que, effectivement, ce n’est pas votre domaine. Le problème est de savoir si vous le regrettez ou si vous encouragez ce type de conception du « domaine ». La faute que vous faites est une question secondaire à mon sens ; plus important est l’idée sous-jacente qui conduit cette conception du domaine, bien éloigné de la docte ignorance de Nicolas de Cues.

d) Ce qui est donc à mon sens théoriquement étonnant est que vous écriviez que « la définition du mètre ne fait pas partie de votre domaine » au sens, me semble-t-il, que « la définition du mètre ++n’a pas à faire pas partie de votre domaine++ ».

Je pense, tout au contraire, que ce type de connaissances, pour employer votre expression, « doit faire partie de notre domaine » parce que tout professeur des écoles ou tout professeur de mathématiques doit avoir une culture suffisante en physique non pas certes pour faire un cours complet sur le boson de Higgs mais au minimum pour connaître ce qui est quand même une question de base, les grandes lignes de l’histoire et de la justification des définitions du mètre. Jusqu’à quel niveau doit-il les connaître ? La question est complexe et je donne quelques axes de réponse que je préciserai le cas échéant pour éviter toute fausse interprétation. Pour le dire rapidement : bien sûr, le plus haut niveau de formation sera le mieux pour la formation générale de l’enseignant et, s’il est enseignant de mathématiques, pour qu’il puisse présenter les connaissances disciplinaires mathématiques en liaison avec la physique. Plus précisément, il est nécessaire qu’il connaisse suffisamment bien ces «grandes lignes de l’histoire et de la justification des définitions du mètre » pour les enseigner elles-mêmes tant que cet enseignement n’est pas au programme d’une autre matière, la physique par exemple. Et par exemple, je pense qu’il faut enseigner en primaire

i) l’histoire de la définition du mètre (tout ce qui est accessible aux élèves)

ii) les unités de longueurs, de masses, de capacités et de volumes en tant qu’elles constituent un système (métrique) c’est-à-dire en ne se limitant pas aux unités usuelles puisque, par exemple, s’il l’on apprend d’une façon purement arbitraire le mètre et le kilomètre sans le décamètre et l’hectomètre, on ne peut comprendre pourquoi le système métrique est un système et pourquoi il est rattaché au système décimal. De la même manière, il n’est pas inutile de savoir que 1 kg est - à epsilon près - le poids d’un dm3 d’eau à 4°C, ce qui relie les mesures de longueur, de masse et de volume. Vous devrez le reconnaître et l’admettre, d’un point de vue pédagogique comme d’un point de vue théorique il est beaucoup facile d’apprendre ce qui est « systématique » que d’apprendre des connaissances éparses et sans liens réguliers. C’est le prix à payer pour faire valoir l’autorité de l’argument.

e) La question est plus vaste encore : je pense que la culture générale de tout professeur, des écoles ou du secondaire, de science ou non, devrait comprendre ce type de connaissances scientifiques et comprendre aussi des connaissances de base, sérieuses, en grammaire et linguistique. Nous en sommes loin. Mais lorsque l’on se réclame de l’interdisciplinarité - ce qui me semble être le cas de tous les programmes depuis plusieurs dizaines d’années - et que l’on ne veut que ce ne soit pas du vent, il faut pour tous les enseignants des connaissances minima, je dirais de culture générale dans les différentes disciplines.

f) Si je ne mésinterprète pas ce que vous dites, vous prenez donc, comme exemple de position du BIPM à ne pas reprendre en classe, une définition du mètre par cet organisme.

Je suis bien d’accord avec vous sur le fait qu’il ne faut pas reprendre cette définition du mètre en CE et tant que les élèves ne peuvent pas la comprendre - ce qui est le cas… au moins de l’école primaire complète, que ce soit pour la définition que vous suggérez ou pour la « vraie » définition du mètre défendue actuellement par le BIPM.

g) Il faut aussi remarquer que le BIPM lui-même ne présente pas cette définition ex abrupto et présente l’histoire des définitions du mètre[4] ; or la nécessité des dernières définitions du mètre - aussi bien celle que vous présentez comme telle que celle qui l’est effectivement - ne peut être comprise que si comprend les raisons qui font passer de la première définition (le dix-millionième du quart de méridien terrestre) aux définitions actuelles. Or cette première définition est non seulement indispensable pour comprendre la validité des suivantes mais est de plus une illustration très instructive pour montrer l’enchevêtrement des raisons, politiques, économiques et scientifiques qui la déterminent. Et, heureusement, cette définition du mètre défendue en son temps par l’ancêtre BPM est accessible dans ses grandes lignes par un élève du primaire, tout autant d’ailleurs que les raisons qui poussent à l’adopter. Et il faut à mon avis l’enseigner dès qu’elle est accessible. Je l’ai fait très longtemps en début de sixième[5].

h) Si je pense, pour des raisons évidentes, qu’il ne faut pas enseigner en primaire la dernière définition du mètre par le BIPM, je pense tout autant que, dès que l’élève a les moyen de la comprendre et qu’il peut donc l’utiliser à bon escient, c’est CETTE définition-là et pas une autre qu’il faut enseigner. Si vous pensez qu’elle a des défauts - c’est votre droit - , vous les exposez à vos élèves mais seulement après l’avoir d’abord enseignée. L’acquisition de cette définition est une des conditions d’accès au langage universel de la science.

Je voudrais également rajouter qu’il ne suffit pas, même si c’est bien sûr indispensable, de faire « pratiquer des mesures » aux élèves afin qu’ils sachent utiliser les instruments de mesure, c’est-à-dire la question du comment. Il faut leur apprendre à poser la question du pourquoi ou au moins ne pas désespérer ceux qui la posent par eux-mêmes comme cet élève que je cite par ailleurs et qui demandait : « Monsieur, pourquoi un mètre mesure un mètre ? »

MD - 23/10/2012

En .pdf : http://michel.delord.free.fr/edp_bipm-uns.pdf

II) A propos de Uns – A suivre

[1] Je reviendrai aussi sur les affirmations de Caliban.

[2] 11ème conférence générale des poids et mesure : http://www.bipm.org/fr/CGPM/db/11/6/

[3] 17éme conférence générale des poids et mesure : http://www.bipm.org/...nits/metre.html

[4] Le BIPM et l'évolution de la définition du mètre de 1872 à 1997 : http://www.bipm.org/...tion_metre.html

[5] La page http://michel.delord...cours-math.html sera rapidement mise à jour pour inclure des précisions pédagogiques sur ce sujet.

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II) A propos de Uns

A) L’article indéfini un peut-il avoir comme pluriel uns ?

Vous dites également :

Je vois également un argument d'autorité dans votre réponse à Caliban concernant le pluriel de un. Selon vous, c'est parce qu'on peut mettre au pluriel le mot "un" qu'une exp
ression telle que "les uns et les autres" est possible. Je crois au contraire que la grammaire, avant d'être une norme, est une étude de la langue. C'est bien parce qu'on constate des usages récurrents de "uns" chez des personnes ayant une bonne maîtrise de la langue française que les grammairiens ont constaté que "un" avait un pluriel. Que la grammaire soit aussi un recueil des "bons usages" n'y change rien, l'usage de la langue précède sa description.

Reprenons le débat.

- a)J’avais fait à l’origine remarquer à la note 8 de mon texte initial Le mot unité a-t-il deux sens ? :

« Un » peut donc « prendre le pluriel ».

- b) Ce à quoi Caliban répond le 15/10/2012 à 23h09, de manière non bienveillante

Les uns et les autres ? Quelle découverte !

- c) Je comprends alors que ma phrase « Un peut donc prendre le pluriel » est imprécise en ne spécifiant pas dans quel cas il peut être étonnant que un prenne s au pluriel. Je supposais, à tort, que mes lecteurs comprendraient sans plus d’explications que je ne faisais pas allusion aux cas où il est tout à fait grammaticalement logique qu’il en soit ainsi. Et je réponds, comprenant que j’avais pu induire Caliban en erreur, en précisant que le cas intéressant pour lequel un prend un s au pluriel est le cas où un est l’article indéfini un :

« Je vous fais remarquer que vous donnez comme raison au fait que l’on peut mettre un « s » à un, c'est-à-dire le mettre au pluriel, l’existence de l’exp
ression « les uns et les autres ». Ne serait-ce pas au contraire parce que l’on peut mettre un au pluriel que l’exp
ression « Les uns et les autres » existe ? Mais si l'on se place dans le contexte mathématique qui est bien celui de mon texte, je pensais insister -mais j'aurais dû être plus précis- sur le fait que un, l'article
un
qui signifie bien
1
, sauf s'il est générique comme dans « Un rectangle est un quadrilatère qui ... » pouvait avoir comme pluriel
uns
. Si mes connaissances sont suffisantes, la raison n’en est pas, comme vous semblez vouloir le dire, complètement élémentaire. »

- d) Caliban répond, ne tenant absolument pas compte de ce que je dis et qui est maintenant très précis, que l’exemple qu’il donne, c'est-à-dire l’expression « Les uns et les autres » est « un exemple à la banalité ostentatoire » du fait que un peut prendre le pluriel. Or dans ce cas, uns est le pluriel du pronom un, ce qui est effectivement banal. Mais ceci ne réponds pas à ce que je demandais explicitement ce coup-ci : uns peut-il exister comme pluriel de l’article un ? Et je précisais bien, que la raison n’en est pas complètement élémentaire ni banale comme Caliban semble vouloir le dire.

- e) Sur ce, vous intervenez, vieux matheux, en disant

« Je vois également un argument d'autorité dans votre réponse à Caliban concernant le pluriel de un. Selon vous, c'est parce qu'on peut mettre au pluriel le mot "un" qu'une exp
ression telle que "les uns et les autres" est possible. Je crois au contraire que la grammaire, avant d'être une norme, est une étude de la langue. C'est bien parce qu'on constate des usages récurrents de "uns" chez des personnes ayant une bonne maîtrise de la langue française que les grammairiens ont constaté que "un" avait un pluriel

f) Vous ne résolvez donc pas le problème qui est pourtant maintenant explicitement posé : L’article indéfini un peut-il avoir uns comme pluriel ? Caliban avait des excuses, j’avais été imprécis mais lorsque vous intervenez, ma question est très claire et il est tout aussi clair que la réponse de Caliban n’en est pas une.

Par contre vous construisez tout un raisonnement expliquant que j’utilise « un argument d’autorité ». On peut en discuter mais là n’est pas la question d’autant plus que vous affirmez tout de go que « Selon [moi], c'est parce qu'on peut mettre au pluriel le mot "un" qu'une expression telle que "les uns et les autres" est possible ». Or j’en ai seulement fait l’hypothèse puisque je posais simplement la question - le texte se termine un point d’interrogation - : « Ne serait-ce pas au contraire parce que l’on peut mettre un au pluriel que l’expression « Les uns et les autres » existe ? » et ce pour attirer plus l’attention sur le mot « uns » comme supposé pluriel de l’article indéfini un.

g) J’ai donc une impression très nette, et un peu désagréable. A une question très claire L’article indéfini un peut-il avoir comme pluriel uns ?, vous ne savez pas quoi répondre et vous construisez tout un discours évitant la question et m’accusant d’un certain nombre de maux.

B) L’article indéfini un peut avoir comme pluriel uns.

Il est clair que le pluriel de l’article indéfini un est des. Mais il n’en a pas toujours été ainsi. Si j’aborde cette question, ce n’est pas par pédantisme et pour exhiber une exception, c’est que lors de ma carrière de prof de maths j’ai eu souvent à répondre à des questions sur le singulier et le pluriel et à leurs rapport avec la numération. Je montrais notamment qu’il y avait un lien entre la grammaire et la numération et que l’opposition singulier / pluriel était certes une manière de compter mais pas très performante. Et c’est dans ce cadre que je me suis intéressé aux pluriels de « un ».

En français actuel, le singulier correspond à un et le pluriel commence à partir de deux. Mais il est important de montrer que ce n’est pas le cas pour toutes les langues et que ça n’a pas toujours été le cas pour le français.

Ce n’est pas le cas pour toutes les langues

- pour le grec ancien par exemple, le pluriel commence à trois et il y a ce que l’on appelle le duel. Le TLF nous dit : « GRAMM. Nombre, distinct du singulier et du pluriel, employé dans les conjugaisons et les déclinaisons de certaines langues (grec ancien, hébreu, sanscrit, etc.) pour indiquer que deux personnes, deux choses sont en cause »

- mais le pluriel ne peut que commencer à quatre pour les langues qui ont un triel (comme le mwolap) ou à cinq pour celles qui ont un quadriel (bien que je n’ai pas de références absolues sur la question) .

- et certaines langue ont un paucal, qui veut dire peu mais plus grand que 2 …

Et ce n’est pas le cas pour le français qui a eu, brièvement, une forme de duel qui est justement « uns ».

Source : Le Robert, dictionnaire historique de la langue française, article Un, une.

UN, UNE
adj. num. , art. et pron. indéf , attesté dès les
Serments de Strasbourg
(880), est issu du latin
unus,
adjectif numéral et nom, qui a servi à désigner l'unité, mais a été éliminé par
solus
dans le sens de «seul » (—> seul) ou a été renforcé par lui
(unus solus); unus
a également eu le sens indéfini de « un quelconque », seul ou joint à d'autres indéfinis.
[…] Un
a acquis en français d'autres valeurs que celles du latin, ce qui a contribué à la différenciation des systèmes morphologiques des deux langues. Le mot apparaît d'abord comme article indéfini (880) avec une valeur de présentatif et un pluriel
des*;
l'ancien français employait également le pluriel régulier
uns, unes
(1080) avec une valeur collective
(uns cops «une
volée de coups ») ou appliqué à des objets qui vont par paire (
uns
gans
« une paire de gants »). […]

24 octobre 012

MD

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Juste en passant , je pense que ce que je raconte dans la suite de mes réponses à un certain Verdurin à propos des maths modernes peut vous intéresser parce que, justement, ce n'est pas connu :

Voilà :

Il me semble de toutes les façons - c'est un peu développé ici infra en note 1 - qu'il faut abandonner la vision sectaire des années 70 partagée aussi bien par les défenseurs des maths modernes, qui défendaient les maths modernes à tous les niveaux, que par les ennemis des maths modernes, qui refusaient les maths modernes à tous les niveaux. En fait, et pour le dire plus que vite, la vision "maths modernes" avait une certaine puissance liée à l'abstraction dont elle se réclamait : mais cette abstraction ne pouvait être comprise que si elle était justement l'abstraction de quelque chose. Et par exemple l'algèbre linéaire, enseignée à cette époque en seconde ne pouvait être "véritablement comprise" - les guillemets font référence à la dernière phrase de la note [1] - que si elle apparaissait à l'élève comme un "schéma possible d'interprétation de la géométrie euclidienne des figures". Et donc la "géométrie classique" (schéma de progression à partir de la sixième : cas d'égalité des triangles, puis cas de similitude des triangles, puis théorème de Pythagore) est bien une condition nécessaire à la compréhension d'une "vision maths modernes de la géométrie".

Or donc je défendais cette position au moment justement des maths modernes au début des années 70 même si c'était avec moins d'arguments que maintenant : je passais donc pour un traître dans les deux camps puisque je refusais le faux dilemme entretenu par les deux sectes.

Je tiens donc à insister particulièrement sur le danger du sectarisme : je montre qu'il est assez universel dans l'annexe du texte " Exclu de la liste Freinet ..." , annexe intitulée "Fonctionnement de secte", qu'il est aussi présent chez les Freinet que dans le camp républicain et instructionniste, et qu'il très souvent basé sur un manque de connaissances disciplinaires de base [ Voir le cas JPB] . De toutes les façons, la lecture complète du texte " Exclu de la liste Freinet ..." est utile puisque j'y parle de Charles-Ange Laisant, ce qui intéressera aussi bien Verdurin sur enseignants-du-primaire.info que Caliban sur EdP.

Bonne lecture

MD 26/10/2012

Discussion sur une liste de maths à propos des "maths modernes" (New Math aux USA)

Octobre 2012

Un premier correspondant fait remarquer

"
Les américains parlent de New Math.
"

Un second répond :

J'apprends quelque chose. Mais les américains ont abandonné dès la fin des années 60. Ce qui est étonnant alors c'est qu'en France on enseignait toujours comme ça 15 ans plus tard. On est toujours à la traîne. On attend que les autres reconnaissent leurs erreurs pour faire les mêmes. C'est brillant.

FP

Et je rajoute :

Et ce qui est encore plus étonnant - étonnant n'est en fait pas le terme - c'est qu'a été dissimulé en France tout ce qui correspondait à des critiques sérieuses et difficilement attaquables faites à cette expérience des new maths aux USA. Le meilleur exemple en est la pétition « On the mathematics curriculum of the high school » de 1962 dirigée contre les maths modernes et signée par "des mathématiciens américains" :

- en fait, cette pétition a été signée par des mathématiciens de différents pays se trouvant aux États-Unis

- il n’y a que 64 signatures car les initiateurs de la pétition disaient préférer la qualité à la quantité et ils ont donc arrêté volontairement les signatures à 64

- la liste des signataires est effectivement impressionnante : Alfhors, Bell, Birkoff, Peter Lax, Richard Courant , Coxeter, Marston Morse , Geoges Polya, … et André Weil : aucun des ces mathématiciens ne peut être accusé de ne pas connaitre les "mathématiques modernes" [1] et André Weil est un des membres, et pas des moindres, de Bourbaki.

On comprend donc que la seule solution pour les promoteurs des maths modernes était donc - s’ils la connaissaient - … de ne pas parler de cette pétition.

Et cette pétition a donc été publiée sur Internet en …. 2002 … par moi-même et se trouve ici : http://michel.delord...fr/kline62.html

Et qui plus est, depuis 10 ans qu’elle est maintenant disponible sur Internet - gratuitement seulement pour mon site -, on peut dire que les historiens de l’enseignement des maths en France - notamment l’APMEP et les didacticiens des maths -, ­ ne trouvent nulle part utile d’en parler.

Étonnant, n'est-il pas ?

Michel Delord

[1]Lorsque l’on parle des maths modernes, la question n’est pas de savoir si l’on est pour les maths modernes ou non, problématique idiote qui était imposée depuis 70 autant par les partisans des maths modernes que par les ennemis des maths modernes.

En effet on ne peut qu’être « pour l’axiomatique » si l’on est intéressé par exemple par les dissemblances et les particularités des différentes géométries, sujet étudié par l'axiomatique , c'est-à-dire pour un niveau qui se situe à l’Université. Mais, à mon sens, on ne peut qu’être opposé à une vision « axiomatique » - c’est ainsi que l’APMEP présentait les maths modernes dans sa charte de Chambéry, charte fondamentale de défense des maths modernes en janvier 68 - pour l’enseignement primaire. Je pense par exemple - notamment parce que je l’ai vu réalisé, sur une période très courte par des profs de lycée qui faisaient des maths modernes avant qu'elles soient enseignées au primaire et jusqu'en 3ème- que si les élèves avaient une bonne formation classique jusqu’en 3ème, il était tout à fait possible d’introduire une vision « algèbre linéaire » de la géométrie en seconde.

Mais ce n’est pas ce qu’ont fait les partisans des maths modernes « passés à la didactique » et ils ont fait et font ++exactement le contraire++ :

-ils ont défendu les maths modernes - ou leurs descendances - là où elles sont indéfendables et incompréhensibles, c'est-à-dire en primaire et au collège

-ils les ont abandonné - définition de la continuité par les epsilon, algèbre linéaire, … - là où elles étaient enseignables.

Mais il faut dire que si l’on enseigne des maths modernes ou leurs sous-produit jusqu’en troisième, on ne peut plus les enseigner au lycée et c'est ce qui s'est produit.

Je rajoute juste que lorsque l’on enseigne des choses incompréhensibles à des élèves, ils ne les comprennent certes pas mais sont souvent capables de répondre correctement à une batterie de questions de « compétences » surtout si le prof pose les questions « auxquelles les élèves peuvent répondre ».

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Cher caliban

il est un peu tard pour le faire maintenant mais je souhaiterais pour savoir ce qui nous sépare sur cette question des opérations - nous partageons je crois l'idée que la question est importante - que nous précisions "réciproquement " ce que nous admettons comme "définition de la multiplication" ; en fonction du niveau dans la progression bien sûr puisque je pense que nous sommes aussi d'accord sur le fait que la multiplication des quaternions est bien une multiplication mais qu'elle n'est pas accessible à un élève de CM ou de seconde, pour le moins.

Donc à très bientôt : j'essaierai d'être le plus précis possible.

Bonne soirée

MD

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Il me semble pourtant bien que si. Pour la même raison, inversée, que dans le cas du pronom :

la grammaire est purement conventionnelle, et la convention actuelle admet un pluriel en uns

au pronom, mais pas à l'article. Point final.

C'est certes un pur argument d'autorité — mais la grammaire, au contraire des maths et des sciences,

est un domaine où ils sont non seulement permis, mais déterminants (pour les raisons que développait

vieuxmatheux)

[...]

Rapidement. Ce que je ne comprends pas.:

- Tu penses vraiment que en grammaire, ce sont les arguments d'autorité qui sont déterminants ?

- Lorsque tu écris tu écris "(pour les raisons que développait vieuxmatheux)", veux -tu dire que Vieuxmatheux pense que les règles de grammaire sont des arguments d'autorité - et doivent être enseignées comme telles - ? J'avais plutôt l'impression du contraire .

MD

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Bonjour

On a parlé de la nature de "un" dont je disais "qu'il pouvait ne pas être un nombre" et je vais y revenir dès que j'ai fini de répondre sur la question de l’établissement d'une règle de multiplication par 10, ce qui plus long que prévu et demande certains détours

En attendant, des extraits de ce qui est à mon sens le meilleur article sur la question, "Un" est-il un nombre ? de Maryvonne Hallez et Nicole Nordon, ( In Si le nombre m'était conté, Elipses , 2000)

http://michel.delord...l-un-nombre.pdf

MD

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