Besoin de vos lumières (équations)

[Loverock]

Bonjour à tous,

Je me suis inscrite à Forprof pour m'accompagner dans la préparation du 3ème concours de crpe et j'ai un gros souci avec un exercice.

Voici l'énoncé :

600 personnes ont visité un musée. Le prix de l’entrée est de 5 € pour un adulte, les enfants bénéficient d’une réduction de 40%.
La recette de la journée a été de 2 700 €.
Quel est le nombre d’adultes et quel est le nombre d’enfants ayant visité le musée ?
1) Résoudre le problème algébriquement.
2) Résoudre le problème arithmétiquement.

J'ai calculé le tarif pour les enfants (jusque là, ça va :p) mais c'est après que ça se complique. Je sais que algébriquement, ça veut dire en utilisant des équations mais je n'arrive pas à la poser et arithmétiquement ce n'est pas beaucoup mieux.

Merci d'avance à tous ceux qui m'apporteront leur aide dans cet exercice !  

[FRELOTIN21]

Système d'équations à 2 inconnues

x : nombre d'entrées adulte
y : nombre d'entrées enfant

x + y = 600

5x + (5 - 40/100)y = 2 700

[borneo]

Bonjour,

Tu appelles x le nombre d'adultes et y le nombre d'enfants et tu mets en équations. Ensuite, tu cherches x et y par un moyen de ton choix.

[FRELOTIN21]

a + b = 600

5a + (5 - 40/100 x 5)b = 2 700

[vieuxmatheux]

Même pour une résolution algébrique, rien n'interdit de faire un petit calcul préalable du tarif enfant comme tu l'as fait.

Une fois que tu as trouvé qu'un enfant paie 3€, si les équations proposées par les précédents intervenants ne te viennent pas facilement voici une façon de faire qui peut t'aider à mettre en équation (et aussi à résoudre sans équation c'est à dire arithmétiquement).

Je te propose une méthode qui conduit à utiliser une seule équation, elle pourrait être adaptée pour conduire à un système comme proposé plus haut.

Choisis au hasard un nombre d'adultes (on pourrait faire la même chose à partir d'un nombre d'enfants), en prenant un nombre simple pour que les calculs qui vont suivre soient eux-mêmes simples puis raisonne sur cet exemple (qui n'est certainement pas sauf hasard improbable la solution) pour te demander pourquoi ces nombres ne conviennent pas.

Imaginons par exemple que je décide de voir ce qui se passerait s'il y avait 400 adultes.

Combien y aurait-il d'enfants ?

Je suppose que mentalement tu réponds 200… ce qui est juste, mais, tu verras plus loin pourquoi, il est préférable ne ne pas écrire 200 mais le calcul que tu effectues pour trouver ce nombre… qui est probablement 600 - 400

Résumé de ce qui est fait pour l'instant : si le nombre d'adulte est 400, le nombre d'enfants est 600 - 400.

Pour l'instant, nous n'avons pas parlé du prix d'entrée, et bien voyons si avec ces nombres la recette de la journée est bien celle qui est prévue.

Au total, les adultes auraient payé 2000€… mais là encore il est préférable d'écrire que le prix payé par tous les adultes est de 400 x 5 €

Pour les enfants idem, ils ont payé en tout 600 € c'est à dire 200 x 3 € ou, encore mieux (600 - 400) x 3 €.

Si on fait le total on arrive à 2600€… ce qui n'est pas ce qu'on attend mais va nous permettre d'y parvenir.

Le prix total a été calculé ainsi, en effectuant 400 x 5  + (600 - 400) x 3 = 2600

C'est là où le fait d'avoir écrit à chaque étape les calculs utilisant 400 et non les résultats est utile.

Si à la place de 400 on avait choisi 500, le calcul serait exactement sur le même moule :

500 x 5  + (600 - 500) x 3

et si on était parti au départ de 200 on calculerait

200 x 5  + (600 - 200) x 3

Si on parait du nombre correct d'adultes, celui qu'on cherche, ce serait encore le même genre de calcul, à la différence près qu'on connait le résultat : c'est 2700.

Ainsi nombre-d'adultes x 5  + (600 - nombre-d'adultes) x 3 = 2700

et comme l'usage est de désigner les nombres inconnus plutôt par une lettre que par une expression en français, si on désigne par a le nombre d'adultes on obtient : a x 5  + (600 - a) x 3 = 2700

Ensuite ce n'est plus que du calcul :

5a + 1800 -3a = 2700

2a = 900

a = 450

Il y a donc 450 adultes et par conséquent 600 -450 enfants, soit 150 enfants.

 

Pour une solution arithmétique on peut commencer exactement par le même essai, mais  quand on a trouvé qu'avec 400 adultes et 200 enfants la recette était seulement de 2600 €, on peut corriger : la recette étant trop faible il faut augmenter le nombre d'adultes.

Avec 500 adultes et 100 enfants, la recette est de 500 x 5 + 100 x 3 soit 2800 €  (remarquons qu'ici, on ne fait que des essais avec des nombres, on n'essaie pas de passer à une équation alors on peut aussi bien écrire les résultats que les calculs, ce qui est plus simple).

La recette est maintenant trop importante, il faut diminuer le nombre d'adultes.

Il y a plus de 400 adultes, et moins de 500… essayons donc 450… miracle, ça marche.

 

Variante pour accélérer la solution arithmétique :

Pour 400 adultes et 200 enfants la recette totale est de 2600 €. Il faut donc la faire augmenter de 100 € pour obtenir la valeur cherchée.

À chaque fois qu'on remplace un enfant par un adulte, la recette totale augmente de 2 € (l'adulte paye 5€ au lieu de 3 €).

Pour faire augmenter la recette de 100 €, comme 100€ = 50 x 2 € il faut remplacer 50 fois un enfant par un adulte.

Le nombre d'enfant doit donc diminuer de 50 et celui d'adulte augmenter de 50 (par rapport au premier essai fait au hasard). Il y a donc 450 adultes et 150 enfants.

 

Remarque importante : le nombre de départ, 400 est vraiment choisi au hasard, tu peux refaire le processus en partant de 100 ou de 300 ça marchera tout aussi bien. 

[Loverock]

Merci à tous pour vos réponses et plus particulièrement à "vieuxmatheux" qui m'a fait beaucoup aidé !!  

[vieuxmatheux]

Juste un petit complément sur la rédaction :

l'usage est que quand on traduit un problème par une équation ou un système d'équation,  il n'est pas demandé d'expliquer comment on a  procédé pour effectuer la traduction.

Une rédaction comme celle qui suit est donc parfaitement valable, toute la recherche que je décris peut et doit rester au brouillon

Il y a 11 heures, FRELOTIN21 a dit :

x : nombre d'entrées adulte
y : nombre d'entrées enfant

x + y = 600

5x + (5 - 40/100)y = 2 700

Dans la version que je propose, la rédaction serait donc à peu près :

Chaque enfant paie 3 €, en effet 5 x 60 : 100 = 3

Si on note a le nombre d'entrées d'adulte, le problème peut donc se traduire par : 

 a x 5  + (600 - a) x 3 = 2700

Reste à résoudre l'équation et à rédiger une phrase de conclusion.

En revanche pour la solution arithmétique on est bien obligé de décrire les essais numériques auxquels on procède, ou l'unique essai suivi du calcul pour corriger.