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Encore de l'arithmétique... et des divisions euclidiennes


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Bonjour à vous!

Toujours sur le chapitre Arithématique, et je rame encore...

Si vous avez un peu de temps à me consacrer... merci d'avance :-)

 

Extrait de Mathématique écrit/admissibilité CRPE 2017 Edition Dunod

Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 10, on appelle associé de n l'entier obtenu en intercalant le chiffre 0 entre le chiffre des dizaines et celui des unités de n. Par exemple l'associé de 5467 et est 54607

 

e. Démontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

 

Correction :

Division euclidienne de n par 5 : n = 5q + r avec q et r entiers tels que 0 <= (inférieur ou égal) r <5

Pourquoi 0 <= r <5 ? Ca n'est pas précisé dans l'énoncé...

 

Tout entier n peut s'écrire n = 10a + u (où u est le chiffre des unités et a est le nombre de dizaines, par exemple 315 = 31 x 10 + 5), alors son associé s'écrit 100a + u (3105 = 31 x 100 + 5).

 

1er cas : si 0 <= u < 5, alors n = 10a + u = 5(2a) + u avec 0 <= u < 5.

Pourquoi on ne prend pas 0 <= u < 10 ?

 

Son associé s'écrit 100a + u = 5(20a) + u avec 0 <= u < 5

Le restes de la division de n et de son associé par 5 sont tous les deux égaux à u.

 

2e cas : si 5<= u < 10, alors u = u' + 5 et n = 10a + u' + 5 = 5(2a + 1)+u' avec 0 <= u < 5

D'où sort cet u' ?

Son associé s'écrit 100 a + u = 5 (20a+1) + u' avec 0 <= u < 5

 

Les restes de la division de n et de son associé par 5 sont tous les deux égaux à u' = u – 5

 

Dans tous les cas, les reste de la division de n ou de son associé par 5 sont les mêmes.

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borneo
il y a 48 minutes, Hadouk a dit :

Bonjour à vous!

Toujours sur le chapitre Arithématique, et je rame encore...

Si vous avez un peu de temps à me consacrer... merci d'avance :-)

 

Extrait de Mathématique écrit/admissibilité CRPE 2017 Edition Dunod

Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 10, on appelle associé de n l'entier obtenu en intercalant le chiffre 0 entre le chiffre des dizaines et celui des unités de n. Par exemple l'associé de 5467 et est 54607

 

e. Démontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

 

Correction :

Division euclidienne de n par 5 : n = 5q + r avec q et r entiers tels que 0 <= (inférieur ou égal) r <5

Pourquoi 0 <= r <5 ? Ca n'est pas précisé dans l'énoncé...

 

 

 

Bonjour,

imagine que tu divises un nombre quelconque par 5. Quelles valeurs peuvent prendre le reste ?

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Bonsoir,

Pour ta première remarque :

Je n'ai pas tout lu, mais quand tu divises un nombre par 5, le reste doit être inférieur à 5 sinon cela veut dire que tu aurais pu diviser une nouvelle fois ton nombre par 5.

Exemple : si tu écris 18 = 2 x 5 + 8 C'est juste mais tu peux diviser une nouvelle fois le reste par 5 (8 = 1 x 5 + 3) donc 18 = 3 x 5 + 3

 

 

 

 

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borneo

Par ailleurs, en maths encore plus que dans les autres matières, il est plus productif de chercher à faire le problème, même si on n'a pas les bases pour trouver. Le recours au corrigé ne doit intervenir qu'en dernier recours, et quand on a trouvé quelque chose.

 

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borneo

Pour aider un élève qui rame, je pense qu'il faut le mettre sur la voie, mais pas lui donner les réponses. C'est en cherchant qu'on apprend :)

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Il y a 3 heures, Hadouk a dit :

Bonjour à vous!

Toujours sur le chapitre Arithématique, et je rame encore...

Si vous avez un peu de temps à me consacrer... merci d'avance :-)

 

Extrait de Mathématique écrit/admissibilité CRPE 2017 Edition Dunod

Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 10, on appelle associé de n l'entier obtenu en intercalant le chiffre 0 entre le chiffre des dizaines et celui des unités de n. Par exemple l'associé de 5467 et est 54607

 

e. Démontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

 

Correction :

Division euclidienne de n par 5 : n = 5q + r avec q et r entiers tels que 0 <= (inférieur ou égal) r <5

Pourquoi 0 <= r <5 ? Ca n'est pas précisé dans l'énoncé...

Ca, c'est la définition de la division euclidienne! (Division euclidienne de a par b, ça veut dire qu'on cherche q, le quotient, tel que a=bq+r, avec 0=<r<5, désolée, je n'ai pas de supérieur ou égal sur le clavier....)

Tout entier n peut s'écrire n = 10a + u (où u est le chiffre des unités et a est le nombre de dizaines, par exemple 315 = 31 x 10 + 5), alors son associé s'écrit 100a + u (3105 = 31 x 100 + 5).

 

1er cas : si 0 <= u < 5, alors n = 10a + u = 5(2a) + u avec 0 <= u < 5.

Pourquoi on ne prend pas 0 <= u < 10 ?

Parce que, justement, comme on va diviser par 5, on veut arriver, pour la démonstration,  à un reste inférieur strictement à 5. Du coup, on sépare en 2 cas. ;)

Son associé s'écrit 100a + u = 5(20a) + u avec 0 <= u < 5

Le restes de la division de n et de son associé par 5 sont tous les deux égaux à u.

 

2e cas : si 5<= u < 10, alors u = u' + 5 et n = 10a + u' + 5 = 5(2a + 1)+u' avec 0 <= u < 5

D'où sort cet u' ?

C'est le deuxième cas de figure. Si le chiffre des unités de ton nombre est plus grand que 5, on l'écrit 5 + quelque chose. Du coup, on introduit ce u=5+u', ce qui permet d'avoir un reste, u', toujours inférieur strictement à 5, qui pourra être le reste. Ainsi, on enlèvera une fois de plus 5 (le quotient sera donc plus grand de 1) et on aura un reste inférieur à 5.

Son associé s'écrit 100 a + u = 5 (20a+1) + u' avec 0 <= u < 5

 

Les restes de la division de n et de son associé par 5 sont tous les deux égaux à u' = u – 5

 

Dans tous les cas, les reste de la division de n ou de son associé par 5 sont les mêmes.

Bornéo, peut-être que Hadouk a passé un moment à chercher....et a fini par se rabattre sur le corrigé....qu'il/elle n'a pas du tout compris.... Enfin, je vois ça comme ça!;)

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borneo
Il y a 3 heures, Hadouk a dit :

Correction :

Division euclidienne de n par 5 : n = 5q + r avec q et r entiers tels que 0 <= (inférieur ou égal) r <5

Pourquoi 0 <= r <5 ? Ca n'est pas précisé dans l'énoncé...

 

 

Cette remarque montre que non.

Mon idée était de la faire réfléchir, éventuellement de lui demander de regarder dans son cours ce qu'est la division euclidienne, et puis je pense qu'elle aurait trouvé par elle-même.

Je vois ici beaucoup d'étudiants qui partent du corrigé, et qui essaient de le comprendre. A moins d'apprendre par cœur tous les corrigés possibles, ça ne les aidera pas pour l'examen.

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vieuxmatheux

Je trouve un peu osé d'affirmer que quelqu'un n'a pas réfléchi. Qu'est-ce qui permet de l'affirmer ?

Quand un domaine ne nous est pas familier, il est normal que des points qui paraitront évidents plus tard ne le soient pas encore.

Alors certes oui, il faut chercher par soi même pour progresser mais on peut aussi remarquer que le style de rédaction du corrigé n'aide en rien un candidat peu à l'aise avec les mathématiques. Si le reste est du même style, cet ouvrage est à fuir

Il me semble qu'au CRPE une rédaction mettant en évidence que le reste de la division euclidienne d'un entier par 5 ne dépend que du chiffre des unités suffirait : si celui ci est 0 ou 5 le reste est zéro (autrement dit le nombre est multiple de 5).

Si le nombre se termine par 1 ou 6, il vaut un de plus qu'un multiple de 5, le reste est donc 1… et ainsi de suite.

Comme le passage d'un nombre à son associé ne change pas le chiffre des unités, ça ne change donc pas le reste de la division par 5.

Certes cette façon de voir les choses ne correspond pas aux standards de rédaction des maths de fin de lycée ou au delà, mais il me semble qu'en ne se perdant pas dans un formalisme pas forcément nécessaire ici on comprend parfois mieux… quitte si on a encore de l'énergie à essayer de reformuler ça dans un style plus technique (mais est-ce vraiment le but au CRPE ?)

Autre version possible pour insister sur le fait qu'il y a presque toujours de nombreuses façons de rédiger une solution. 

Pour passer d'un nombre N à son associé, on ajoute un nombre qui est multiple de 5 (puisque le chiffre des unités ne change pas, le nombre ajouté se termine par 0).

On pourrait s'en tenir là, en effet quand on ajoute un multiple de 5 à un nombre, (c'est à dire un certain nombre de fois 5), ça ne change pas le reste de la division par 5. 

Si on veut détailler de façon un peu plus technique, on peut écrire ceci :

Notons 5a le nombre ajouté à N pour obtenir son associé.

Appelons q et r le quotient et le reste de N dans la division par 5

N = 5q+r

L'associé de N est donc égal à 5q+r + 5a soit 5 (q+a) + r

Les deux nombres ont donc bien le même reste dans la division par 5.

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Ah oui, en effet, c'est bien plus simple!:D

(Parce que j'avoue que hier soir, tard, en lisant le corrigé, je me suis demandée si j'aurais réussi à pondre un truc pareil comme démonstration!:heat:)

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vieuxmatheux

Une autre façon de voir les choses est de se demander (après avoir résolu un problème, ou après avoir renoncé et consulté le corrigé) quelle idée forte on peut retenir de ce problème, du point de vue des notions mathématiques étudiées ou bien du point de vue des méthodes de résolution.

Pour cet exercice, il me semble que l'idée essentielle est que les nombres qui ont le même reste dans la division euclidienne par un même nombre D vont de D en D :

Exemple : les nombres qui ont pour reste 5 dans la division par 9 vont de 9 en 9, ce sont 5 (ou 0x9 + 5) puis 14 (ou 1x9+5) puis 23 (ou 2x9 + 5) 32 (ou 3x9+5).

autre exemple :  les nombres qui ont pour reste 2 dans la division par 5 vont de 5 en 5, ce sont 2 (ou 0x5 + 2) puis 7 (ou 1x5 + 2) puis 12 (ou 2x5 + 2) 17 (ou 3x5+2), 22  (ou 4x5 + 2).

Quand on a compris ça, on est tout près de savoir résoudre ce problème et surtout toute une classe de problèmes portant sur la division euclidienne.

Je crains que des ouvrages comme celui de chez Dunod (si l'extrait dont il est question ici est significatif, peut-être s'agit-il d'une exception malheureuse, je reconnais n'avoir pas vérifié) n'aident en rien les candidats à se familiariser ainsi avec le sens profond des notions étudiées mais qu'ils les enferment au contraire dans l'idée que faire des mathématiques c'est utiliser à tout prix un jargon même si on ne le comprend pas.

Terrifiant à la fois pour les candidats et pour leurs futurs élèves si ils parviennent à être reçus malgré ce type d'"aide".

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Bonjour à tous et merci d'avoir pris le temps de me répondre.

J'ai effectivement passé quelques temps à réfléchir sur cet exercice. J'ai résolu sans problème les questions de a. à d.. Pour le e, j'ai ressorti la propriété qui dit qu'un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. J'ai cherché grâce à un exemple en posant la division euclidienne 3547 par 5 et 35407 par 5. Et j'ai remarqué effectivement que les restes étaient identiques... J'ai essayé de bâtir une démonstration comme j'ai pu à partir de là, en me doutant qu'elle ne serait pas "protocolaire". Pas de bol...

Pour info, je me remets juste au maths, je n'en ai pas fait depuis 4 ans, à l'IUFM. J'ai un mince espoir de me débrouiller seule (et avec un peu d'aide numérique et peut être humaine...) après mon travail... je vise le CRPE 2018 mais peut être que l'"aide" de Dunod ne suffira pas... car pour le moment je n'ai réussi à résoudre aucun exo du chapitre seule!

J'avais effectivement omis que dans une division euclidienne a = b x q + r on a 0 <= r < b... En fait je n'ai pas encore révisé le chapitre où il y a cette propriété

Je trouve moi aussi l'explication de vieuxmatheux bien plus claire... et rassurante si tu affirmes qu'elle est suffisante pour le CRPE... je vais peut être changer de bouquin...

Merci et ... à bientôt...!!

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vieuxmatheux

Si ça t'intéresse, je veux bien te donner un avis d'ex-correcteur du crpe sur ta démo. Tu peux la mettre ici ou me l'envoyer en message perso.

En ce qui concerne les livres, si tu as des souvenirs raisonnables du collège et que tu n'étais pas trop fâchée avec les maths quand tu y étais, je te conseille celui de Charnay et Mante chez Hatier, excellent également pour la partie didactique.

Si au contraire tu faisais partie des gens très fâchés avec les maths à la fin du collège, le mien (Yves Thomas, chez Ellipses) s'adresse directement à ce public… et je crains qu'il soit le seul. 

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  • 1 month later...
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vieuxmatheux

Oui c'est celui-ci, et pour des raisons de difficultés avec l'éditeur, si tu décides de l'acheter ça m'arrangerait que ce soit sur amazon… 

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