Exercice "de permutation" - Numération

[Chléaa]

Bonsoir,

Un exercice (qui me paraîtra sans doute très simple après l'avoir compris) me donne du fil à retordre... D'autres utilisateurs ont déjà sollicité de l'aide pour ce même exercice, mais les réponses apportées ne concernent pas ce qui me pose problème et les posts datent de 2007 ou 2008...

J'espère que vous aurez la patience de m'indiquer où j'ai fait erreur et de m'expliquer comment parvenir à la solution !

Voici l'énoncé :

 

On recherche un nombre N à trois chiffres. N = c d u  donc.

- En permutant, dans l’écriture de N, le chiffre des dizaines et celui des unités, on obtient l’écriture d’un nombre M. M = c u d

- En permutant, dans l’écriture de N, le chiffre des dizaines et celui des centaines, on obtient l’écriture d’un nombre P. P = d c u

Les nombres M et P restent des nombres à trois chiffres.

Déterminer tous les nombres N qui vérifient simultanément les relations : N + 36 = M et N - 270 = P.

Voici ce que je suis parvenue à faire :

N + 36 = M

100c + 10d + 1u  + 36  =  100c + 10u + 1d

100c + 10d + 1u + 36  - 100c  - 10u  - 1d  =  100c + 10u + 1d  - 100c  - 10u  - 1d

9d - 9u + 36 - 36  =  - 36

9d / 9  -  9u / 9  =  - 36 / 9

d - u = - 4

d - u + u  =  - 4 + u   et   d - u - d  =  - 4 - d

d = - 4 + u   et   - u = - 4 - d                       Qu'est-ce que je fais de "mal" pour que ce soit faux ici ??

 

N - 270 = P

100c + 10d + 1u  - 270  =  100d + 10c + 1u

100c + 10d + 1u - 270  - 100d - 10c - 1u  =  100d + 10c + 1u  - 100d - 10c - 1u

90c - 90d - 270 + 270 = 270

90c / 90  -  90d / 90  =  270 / 90

c - d = 3

c - d + d = 3 + d   et   c - d - c = 3 - c

c = 3 + d   et   - d = 3 - c

Et voilà je suis bloquée... Comment faire pour la suite ? Merci de détailler vos calculs - c'est trop souvent ce qu'il manque sur les forums...

[Juperlau2]

Ta première partie ne me semble pas fausse? Pourquoi penses-tu que c'est faux?

Tu obtiens d - u = - 4 et c - d = 3
donc d = - 4 + u
et d = c - 3
donc pour que le nombre convienne, il faut que - 4 + u = c - 3 qui est équivalent à u = c + 1
donc les nombres N de type c c-3 c+1 (415, 526, 637, 748, 859) fonctionnent, on ne peut pas prendre 304 car sinon P (034) ne serait plus un nombre à 3 chiffres.



 

 

[Dominique]

Effectivement et en détaillant un tout petit peu plus ça peut donner ceci :

Ce que tu as trouvé est effectivement exact et peut s'écrire u = d + 4 et c = d + 3

Ensuite on cherche les nombres solutions de la manière suivante :

d est différent de 0 car P est un nombre à trois chiffres
d = 1 donne u = 5 et c = 4 donc N = 415
d = 2 donne u = 6 et c = 5 donc N = 526
d = 3 donne u = 7 et c = 6 donc N = 637
d = 4 donne u = 8 et c = 7 donc N = 748
d = 5 donne u = 9 et c = 8 donc N = 859
d ne peut pas dépasser 5 car u ne peut pas dépasser 9

Conclusion : il y a cinq possibilités : N = 415 ou N = 526 ou N = 637 ou N = 748 ou N = 859

:

 

[javanaise]

Miam, j'adore. Merci !

[Chléaa]

Merci beaucoup ! C'était en effet simple de déterminer d, ayant déjà u = 4 + d et c = 3 + d. Je me suis laissée déboussoler par mes deux occurrences de d dont je ne savais précisément que faire.

[vieuxmatheux]

Une version moins algébrique en commençant par écrire des cas simples. Cela permet peut-être de comprendre plus profondément ce dont on parle (même si ce n'est pas plus facile à rédiger pour le concours).

Si je remplace 254 par 245, le nombre diminue de 9

Si je remplace 264 par 246, le nombre diminue de 18

Si je remplace 274 par 247, le nombre diminue de 27

Tiens donc, la table de 9 !  est-ce un hasard ?

Pas du tout : en prenant le dernière exemple, le chiffre des dizaines diminue de 3 ce qui fait diminuer le nombre de 3x10.

Le chiffre des unités augmente de 3 et le nombre idem. En tenant compte des deux actions, le nombre diminue de 3 x 9.

En généralisant un peu,  si le chiffre des dizaines est plus grand que celui des unités et le nombre diminue de 9 fois la différence (c'est là que l'algèbre montre toute sa puissance : le calcul algébrique n'aide pas forcément à comprendre ce qui se passe mais il est valable pour toutes les valeurs, la généralisation se fait d'elle même alors que pour l'expliquer sans algèbre ce serait assez fastidieux).

De la même façon, si le chiffre des centaines est plus grand que celui des dizaines, l'inversion des deux chiffres fait diminuer le nombre de 90 fois la différence.

Dans l'exercice, le changement unité/dizaines fait augmenter le nombre de 4x9, le chiffre des unités était donc plus grand de 4 que celui des dizaines ce qui donne pour les deux derniers chiffres les possibilités suivantes : 04, 15, 26, 37, 48, 59

Dans l'exercice, le changement centaines/dizaines fait diminuer le nombre de 3x90, le chiffre des centaines était donc plus grand de 3 que celui des dizaines ce qui donne en réutilisant le résultat précédent les possibilités suivantes : 304, 415, 526, 637, 748, 859

Pour 304, l'inversion c/d donnerait 034… ce qui peut s'écrire avec deux chiffres or l'énoncé précise que les nombres obtenus ont trois chiffres, seules les 5 autres solutions conviennent.