Fractions au CE1

[vieuxmatheux]

Je ne suis sans doute pas le seul à avoir été affolé par l'introduction des fractions au CE1

En regardant ce qui est proposé, on constate un appui sur l'expression "prendre tant de trucs sur tant", ce qui me semble tout à fait regrettable pour les raisons suivantes :

Cela permet de faire le lien avec la disposition spatiale de l'écriture fractionnaire, mais pas du tout d'insister sur le fait que les fractions ne sont pertinentes que s'il y a un partage en parts égales. Pour prendre trois parts de gâteau sur cinq, il n'y a aucun besoin que les cinq parts soient égales.

Cela installe (et c'est assumé par les programmes) l'idée qu'une fraction est par nature inférieure à un. Or on sait que c'est un obstacle difficile à franchir… est-il vraiment nécessaire de le consolider ?

Sans compter que, dans l'usage courant, cette expression n'évoque pas du tout le partage  : dans cette patisserie, deux gâteaux sur trois sont au chocolat. 

Une proposition alternative : travailler pendant une bonne partie de l'année (disons, par exemple les trois premières périodes) en utilisant les mots "demi", "quart" ou "tiers" mais sans recourir à l'écriture fractionnaire qui ne sera qu'une façon de noter ces mots en abrégé introduite vers la fin de l'année.

Par ailleurs, si on utilise des mots et non des notations en chiffres, la question de l'addition des fractions est réglée : 3 quarts et deux quarts ça fait cinq quarts alors que 3 quarts et 2 tiers, ça ne fait ni 5 quarts ni 5 tiers, ce n'est pas plus difficile que pour 3 lapins et 2 lapins, ou 3 lapins et 2 poules

Voici un exemple d'affichage et un exemple de fiche d'exercices écrits dans cet esprit :

quarts-exo.pdf.  quarts.pdf

[borneo]

Bonjour,

je pense que la notion de fraction est naturellement dans l'esprit des enfants. C'est un morceau, une tranche, une part, un bout.

Avec mes CE1, on a beaucoup joué avec ce concept lors des anniversaires et des gâteaux à couper en parts égales, le plus facilement possible. On testait d'abord au TNI, ça évite le gaspillage et trop de doigts sales sur les gâteaux.

Quand c'est du gâteau, l'obligation que les parts soient égales au mm près ne se discute pas.

Le bonheur était d'avoir une classe de 24 élèves, ou de 23 avec moi. Ca donne lieu à plein de découpages très sympas. Ca marche avec les gâteaux ronds ou longs. La loose, c'est 29 élèves.

Je pense qu'il y a d'autres concepts qui sont intuitifs, ou qui peuvent émerger chez des CE1. Je pense en particulier aux nombres premiers, qu'on peut lister facilement, car ils ne sont dans aucune table. 

J'ai le sentiment (qui n'engage que moi) que la frilosité de certains PE vis à vis des maths pourrait venir de ce qu'ils sont en majorité des littéraires. 

 

[vieuxmatheux]

Je suis d'accord pour penser que la pratique du partage en parts égales est favorable à l'apprentissage des fractions.

Je suis également d'accord avec le fait que le partage de nourriture est une forte motivation à faire des parts égales. J'ai à ce propos un vieux souvenir de mes filles quasi-triplettes (deux jumelles et une ainée ayant juste un an de plus) se partageant deux gâteaux ou deux rognons de lapin quand elles étaient en maternelle. Elles avaient mis au point une règle impitoyable : celle qui partage se sert en dernier. Comme c'était très prestigieux d'être celle qui tenait le couteau, il y avait toujours trois volontaires pour le poste, et l'élue était toujours très motivée pour que les parts soient égales car les frangines ne faisaient pas de cadeau en ce domaine : dura lex sed lex.

Ceci dit, il me semble que tu vas trop loin en disant que les enfants ont naturellement la notion de fraction. Un exemple dans la classe de CM d'un collègue et ami qui venait de démarrer le travail sur les fractions (il y a XXXXXX ans). 

Il était question de gâteaux comme celui-ci :  et les élèves discutaient la question de savoir si oui ou non la partie coloriée du dessin suivant représentait 2/3 de gâteau. 

Les élèves adhéraient presque tous à une des deux positions suivantes :

• Oui, il y a 2/3 puisqu'on a colorié deux parts sur trois.
• Non il n'y a pas 2/3 parce que quand on partage des gâteaux, il faut faire des parts égales sinon ce n'est pas juste.

Or aucune de ces deux réponses ne témoigne d'une compréhension des fractions.

Personne (ou presque, c'est trop vieux pour que ma mémoire soit fiable) n'a dit qu'on ne pouvait pas utiliser les fractions puisque les parts n'étaient pas toutes égales et que les fractions ne s'utilisent que pour décrire des situations où les parts sont égales.

Personne non plus n'a proposé de partager en deux parts plus petites et égales la partie de gauche pour que les parts soient toutes égales et conclure alors qu'on a colorié 3/4 de gâteau.

Évidemment, le collègue a rebondi  là dessus, et il a fait en sorte que, quelques jours plus tard, tous ses élèves ou presque répondent correctement à ce genre de question, mais il me semble quand même que cette aventure montre que le concept de fraction est tout sauf naturel.

Oui au partage, mais n'attribuons pas aux élèves des interprétations qui sont seulement dans la tête des adultes.

 

[Mercure732]

Je suis tout à fait d'accord sur la malheureuse utilisation bien trop précoce des fractions écrites en chiffres, que ce soit en ce1 ou en cm1... C'st pratique, ça donne l'impression que les élèves savent faire, alors que ça bloque la compréhension réel du sens. 

En revanche, ta proposition va plus loin que les programmes de cycle 2, qui demande de travailler sur des fractions inférieures à 1. Je ferai tout de même ce que tu propose pour ancrer la sens dans un contexte plus général mais de manière plus informelle.

Qu'est-ce que tu penses de la proposition du livre scolaire ?

Il y a une première séance en P1 sur les notions de partage équitable, de demi et de quarts puis cette séquence 23 p120 du guide péda : 

https://www.calameo.com/read/000596729b3dbbd6f14a2

Les nombres en chiffres sont introduits trop tôt je trouve, par contre j'aime bien l'idée de comprendre que la "taille" de la fraction dépend de la "taille" du tout et je pensais réutiliser cette séquence sans les écritures chiffrées.

[vieuxmatheux]

Je trouve ce guide péda très verbeux

Je ne suis pas bien sûr de comprendre tout ce qui est écrit, mais si ça veut dire qu'il est possible de partager un gâteau en deux morceaux, mais aussi en quatre morceaux ou en six morceaux, croit-on vraiment que les enfants ne savent pas déjà ça  et qu'il faille leur en faire "prendre conscience" ?

Par ailleurs, il y a des choses très discutables, par exemple cet extrait :

La taille des parts est toujours la même sur les trois schémas, c'est la taille du tout qui varie… de quoi entrainer pas mal de confusions, et en parfaite contradiction avec ce qui est annoncé dans l'extrait précédent : "un même tout peut être fractionné en parts égales de différentes façons". Je maintiens que les élèves le savent déjà, mais apparamment pas les auteurs. Dommage.

De façon générale, il y a beaucoup d'occasions où on parle d'un quart ou d'un demi sans expliciter. un quart ou un demi de quoi ce qui est là encore source de confusions.

Bref, le moins qu'on puisse dire est que je ne suis pas fan.

Par ailleurs, je suis d'accord que ma proposition va plus loin que les programmes puisqu'elle n'exclut pas les fractions supérieures à 1… pourtant elle me semble plus simple. Et exclure les fractions supérieures ou égales à 1 introduit des difficultés pour l'avenir, même l'avenir proche.

Si on accepte que 2 quarts de gâteau plus 1 quart de gâteau c'est 3 quarts de gâteau, pourquoi refuser que 3 quarts de gâteau plus 1 quart de gâteau c'est 4 quarts de gâteau ou que 3 quarts de gâteau plus 2 quarts de gâteau c'est 5 quarts de gâteau ?

[Mercure732]

Il y a 2 heures, vieuxmatheux a dit :

Merci pour ton retour. Pour cette image, je pense qu'il s'agit d'une erreur du côté mise en page et pas auteur parce que c'est très clair dans tout le texte que les bandes sont toujours de la même taille...

Pour le fait de parler de quarts ou demis sans dire quel est le tout, c'est marrant parce que je trouvais qu'un des points forts étaient justement qu'ils en parlaient (presque) à chaque fois et me faisais penser qu'on était bien sur la compréhension ! Comme quoi, notre avis dépend de si on lit avec un oeil "conquis" ou critique !

Néanmoins, je me posais surtout la question sur la pertinence de la situation avec un cinquième de cinq cubes ou un cinquième de quinze cubes (pour comprendre que un cinquième ce n'est pas toujours "je prends 1 des cinq parts")...

 

[vieuxmatheux]

Il y a 11 heures, Mercure732 a dit :

Néanmoins, je me posais surtout la question sur la pertinence de la situation avec un cinquième de cinq cubes ou un cinquième de quinze cubes (pour comprendre que un cinquième ce n'est pas toujours "je prends 1 des cinq parts")...

Je ne suis pas retourné voir le guide pour savoir si la formulation "un cinquième de quinze cubes" est un résumé de ta part ou est celle utilisée par le livre (le lien qui marchait hier ne fonctionnait pas ce matin). ma réponse part de l'hypothèse que c'est la formulation du livre

Une des difficultés majeures sur les fractions est qu'il y a en réalité deux types de dénombrements en jeu simultanément : quand on dit trois quarts de gâteau, on fait intervenir à la fois le nombre 3, qui compte des morceaux de gâteau, et le nombre 3/4, qui compte des gâteaux. Si en plus on utilise l'écriture chiffrée, les enfants voient aussi le nombre 4… qui en réalité ne dénombre ni des parts ni des gâteaux mais indique la façon dont les parts sont faites.

C'est un problème très proche de celui qu'on rencontre en numération avec les entiers : quand on parle de deux dizaines de billes, entrent en jeu à la fois le nombre deux (qui compte des dizaines de billes) et le nombre 2 dizaines ou 20, qui compte des billes.

Pour en revenir à la situation que tu cites, je crois qu'elle peut servir justement à insister sur le fait qu'une fraction se réfère toujours à une situation de partage en parts égales, mais qu'il faut toujours désigner clairement ce qu'on compte, ce qui vaut un, l'unité quoi. On pourrait dire par exemple :

Dans ce travail, on parle de paquets de 20 cubes, comme celui ci. Quand j'écrirai "un paquet" ça voudra dire "un paquet de 20 cubes". 3 paquets, ce sera 3 paquets de 20 cubes, et un demi paquet, ce sera un demi paquet de 20 cubes. Il y a bien des parts égales à envisager, mais comme on parle de paquets, c'est le paquet qui est partagé, pas le cube.

Dans ce travail, on parle de tablettes de 12 carrés de chocolat, comme celle ci :  Quand j'écrirai "une tablette" ça sera toujours une tablette de cette taille. 3 tablettes ce sera 3 tablettes de la même taille, et une demi tablette, ce sera la moitié de cette tablette. Il y a bien des parts égales à envisager, mais comme on parle de tablettes, c'est la tablette qui est partagée, pas le carré.

Si en revanche on utilise la formulation "un cinquième de quinze cubes", on introduit une troisième unité : on peut compter des cubes, des paquets de 15 cubes (mais ça reste implicite, l'importance de ces paquets est seulement induite par l'expression "un cinquième de") et des morceaux de ces paquets !

Par ailleurs, si on veut faire un travail de ce genre, je trouve très malheureux de commencer par un groupe de cinq cubes, le cinquième du groupe se trouvant être un cube… il y a toujours trois unités de compte (le cube, le groupe et le cinquième de groupe) mais dont deux se trouvent par hasard désigner la même chose (un cube). Sans compter que pour les cinquièmes, les sixièmes… les mots qu'on utilise sont les mêmes que pour les nombres ordinaux. Ça rajoute un peu de confusion, il serait "moins pire" de faire ça avec des tiers ou des quarts.

Je crois que si les élèves ne sont pas encore tout à fait perdus avant cette situation ils le seront certainement après.

[Mercure732]

Il y a 14 heures, vieuxmatheux a dit :

Je ne suis pas retourné voir le guide pour savoir si la formulation "un cinquième de quinze cubes" est un résumé de ta part ou est celle utilisée par le livre (le lien qui marchait hier ne fonctionnait pas ce matin). ma réponse part de l'hypothèse que c'est la formulation du livre

Oui, il s'agit bien sûr de ma formulation rapide pour le forum. Eux parlent de tour.

[vieuxmatheux]

Il y a 12 heures, Mercure732 a dit :

Oui, il s'agit bien sûr de ma formulation rapide pour le forum. Eux parlent de tour.

En lisant ta réponse, j'ai d'abord pensé que mon message précédent n'était plus pertinent.

Puis, les dieux de l'informatique étant favorables ce matin, je suis allé relire le guide péda et je trouve que c'est d'une grande confusion, qu'une partie de mes remarques restent d'actualité malgré l'usage du mot tour. 

C'est vraiment très verbeux… d'abord on ne partage jamais une tour, mais "un tout"… comme si ce n'était pas assez difficile comme ça. Ensuite, certaines conclusions laissent rêveur. Je doute que beaucoup d'élèves de CE1 donnent un sens précis à la phrase "La fraction dépend toujours du tout. Comme nos deux tours sont différente, un cinquième de chaque tour est de taille différente aussi".

Alors qu'en élaguant le baratin, si on laisse un enfant choisir entre un quart d'un gros gâteau et un quart d'un petit, il n'aura pas de doute.

 

Le schéma est également catastrophique… le but à atteindre devrait être de comprendre qu'une fraction, c'est un nombre. 1/5 c'est toujours le même nombre quelle que soit l'unité. Voilà un exemple du fait qu'écrire 1/5 sans préciser de quoi on parle sème la confusion. Le même schéma avec des tours de couleurs différentes et en légende "1/5 de la tour rouge" et "1/5 de la tour bleue" serait peu utile mais moins catastrophique.

Trois est toujours le même nombre qu'on compte des fourmis ou des éléphants,  ce qui ne dit absolument pas que 3 fourmis c'est la même chose que 3 éléphants. C'est la même chose pour 1/5. Si on faisait l'analogue du schéma ci dessus en maternelle ou en CP pour les nombres entiers, on arriverait à ce qui suit (et encore j'ai mis des couleurs pour simplifier le discours). Bonjour panique !

 

D'autres extraits pas plus clairs : "La grandeur de la fraction dépend toujours de la grandeur du tout" est spécialement merveilleux, et l'activité de coloriage elle même est tendancieuse : comme les huit parts sont faites, les élèves n'ont pas du tout besoin de penser qu'il faut faire des parts égales, il suffit de colorier une case et si dans le guide pédagogique, c'est la troisième case qui est coloriée, on peut s'attendre à ce que certains élèves colorient la huitième. Avec les mêmes bandes, il serait plus judicieux de demander de colorier un quart de chaque bande : d'une part il faut absolument penser au partage en parts égales, d'autre part le mot "quart" n'a pas de sens ordinal.

J'aimerais aussi bien savoir comment les élèves sont supposés compléter la phrase "pour réussir je dois…". On ne sait pas pour réussir quoi, et comme les auteurs semblent incapables d'exprimer simplement ce qui est l'essentiel, c'est difficile de l'attendre des enfants. 

 

Pour ne pas me contenter de faire de l'ironie facile, je me risque à un nouveau support d'exercices en reprenant le contexte des tours de cubes.

tours.pdf

 

[vieuxmatheux]

Voici trois affiches pour la classe à propos des moitiés, tiers et quarts.

Elles sont réalisés à partir des choix suivants, qui ne sont pas conformes aux préconisations des programmes mais qui augmentent à mon avis les chances que les élèves comprennent, (mais finalement, est-ce si important que les élèves comprennent ?)

 

• Pas d’écriture en chiffre des fractions dans les périodes 1, 2 et 3 

 

• Pas d’utilisation de l’expression "tant sur tant" qui, dans la vie courante, n’évoque pas du tout un partage : aujourd’hui, une voiture sur deux vendue est un SUV et trois acheteurs sur quatre déclarent qu’ils n’envisagent pas l’achat d’une voiture électrique, c’est trop cher.

 

• Limitation à « demi » « tiers » et « quarts » dans les périodes 1 et 2 pour ne pas créer d’ambigüité avec les nombres ordinaux.

 

• Aucune utilisation d’une expression comme « trois quarts » qui ne soit pas suivie par « de gâteau » ou « de cette bande rouge » ou "de cette tour"… ( et non « du tout » ).

 

• Pas de limitation à un : qu'est-ce qui interdit de poser sur la table 3 moitiés de baguette ?

 

demi.pdf

 

quarts.pdf

 

TIers.pdf

 

[Mercure732]

C'est compliqué avec ces programmes qui vont dans le sens de savoir faire plein de choses, peu importe la compréhension... Je trouve tes affiches vraiment super ! Je suis aussi pour aller plus loin que 1 pour bien comprendre et ça permet de le faire simplement pour qu'ils l'aient en tête, sans travailler plus que ça dessus.

Le 01/11/2025 à 07:18, vieuxmatheux a dit :

Trois est toujours le même nombre qu'on compte des fourmis ou des éléphants,  ce qui ne dit absolument pas que 3 fourmis c'est la même chose que 3 éléphants. C'est la même chose pour 1/5. Si on faisait l'analogue du schéma ci dessus en maternelle ou en CP pour les nombres entiers, on arriverait à ce qui suit (et encore j'ai mis des couleurs pour simplifier le discours). Bonjour panique !

En continuant ta réflexion, ça me fait tout de même penser au travaux de Stella Baruck ou elle montre par exemple 3 fourmi et 2 stylos et il faut dire si on voit 5 quelque chose. Beaucoup d'enfants comptent sans mettre aucun sens et disent qu'on voit 5, alors qu'on aurait pas idée de compter des fourmis avec des stylos... J'imagine qu'ici, le but est de voir 1/4 de différentes choses, mais il faudra certainement plus insister sur la différence entre nombre et nombre de. Qui est très importante en résolution de problèmes.

 

Le 01/11/2025 à 07:18, vieuxmatheux a dit :

D'autres extraits pas plus clairs : "La grandeur de la fraction dépend toujours de la grandeur du tout" est spécialement merveilleux, et l'activité de coloriage elle même est tendancieuse : comme les huit parts sont faites, les élèves n'ont pas du tout besoin de penser qu'il faut faire des parts égales, il suffit de colorier une case et si dans le guide pédagogique, c'est la troisième case qui est coloriée, on peut s'attendre à ce que certains élèves colorient la huitième. Avec les mêmes bandes, il serait plus judicieux de demander de colorier un quart de chaque bande : d'une part il faut absolument penser au partage en parts égales, d'autre part le mot "quart" n'a pas de sens ordinal.

Les bandes de papier sont "vierges", c'est aux élèves de les plier. En revanche, je ne comprends pas ton commentaire sur le coloriage du huitième huitième par les élèves, ce n'est pas important, il compare des huitièmes de 2 bandes différentes, peu importe lesquels...

 

Le 01/11/2025 à 07:18, vieuxmatheux a dit :

J'aimerais aussi bien savoir comment les élèves sont supposés compléter la phrase "pour réussir je dois…". On ne sait pas pour réussir quoi, et comme les auteurs semblent incapables d'exprimer simplement ce qui est l'essentiel, c'est difficile de l'attendre des enfants. 

 

Il s'agit de métacognition. La réponse attendue est celle qu'ils pensent, même s'ils répondent "je dois prendre assez de pâte à fixe". Ca nous permet de savoir où en est l'élève et de partir de là. D'ailleurs, il n'est pas nécessaire de les reprendre à ce moment-là pour les amener à sortir des réponses au hasard où les élèves cherchent "la réponse qu'on attend" plutôt que réfléchir vraiment à la question.

En début d'année, après un travail avec des étiquettes à coller, j'ai toujours beaucoup d'élèves qui me disent qu'ils se sont entrainés à coller (alors que le but était d'associer un texte à une image par exemple, pour s'entrainer à comprendre un texte). Ca me permet de savoir qui est encore dans le faire pour faire et vers qui il faudra plus expliciter.

[vieuxmatheux]

il y a 27 minutes, Mercure732 a dit :

mais il faudra certainement plus insister sur la différence entre nombre et nombre de.

Je ne suis vraiment pas un fan des propositions de Stella Baruk dans le domaine. Demander si on peut dire 5 et considérer que s'il y a deux étiquettes de fourmi et 3 de fleurs on ne peut pas dire 5 est très abusif : il y a 5 étiquettes ou 5 dessins, ou 5 objets.

Je pense inutile de rajouter des complications avec le concept de "nombre de", il suffit (pour l'adulte) de rappeler constamment de quoi on parle.

 

il y a 26 minutes, Mercure732 a dit :

Il s'agit de métacognition. La réponse attendue est celle qu'ils pensent,

Je suis entièrement d'accord avec la pratique que tu décris ensuite, mais je te trouve très optimiste : la question ne demande pas à l'élève ce qu'il fait, mais ce qu'il doit faire… je trouve que ça ne pousse pas du tout dans le sens de l'observation bienveillante que tu décris même si, évidemment, beaucoup de collègues l'interprèteront comme toi.

 

Sur les bandes de papier que les élèves plient eux-mêmes, j'ai sans doute lu trop vite, dont acte.

En revanche sur le huitième huitième… on ne peut pas exclure qu'un élève le colorie pas parce que c'est un huitième, mais parce que c'est le huitième. Celui là aura réussi et on pensera qu'il a compris, or rien n'est moins sûr. C'est à cause de cette polysémie des mots en "ième" que je pense qu'il vaut mieux travailler un certain temps avec seulement les moitiés les quarts et les tiers.