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Quadrilatère convexe, quadrilatère non croisé


barbamama

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barbamama

Utiliser le fait qu'un quadrilatère est convexe ou non croisé et qu'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur permet de démontrer rapidement qu 'un quadrilatère est un parallélogramme.

Mon problème : comment montrer que le quadrilatère est convexe ou non croisé ?

Dans plusieurs exercices que j'ai rencontrés (annales, Hatier), celà paraît être une évidence et ce n'est pas démontré ("Comme le quadrilatère ABCD est convexe..").Celà doit être tellement simple que celà m'échappe.

Quelqu'un peut-il éclairer ma lanterne, s'il-vous-plaît ?

Merci d'avance

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A mon avis, on ne le démontre pas et on l'admet d'après l'énoncé. Si le quadrilmatère est croisé ou concave, cela doit être précisé dans l'énoncé (cas particulier) sinon il est convexe et non croisé (cas général).

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Oui je suis du même avis

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delphinie

Si tu as des formes en plastique dans ta classe ou dans l'école tu peux le montrer avec un élastique: l'élastique ne touche pas toutes les lignes d'un quadrilatère concave ... mais toutes pour un quadrilatère convexe !

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Bonsoir,

Si en joignant deux points quelconques de la surface limitée par le quadrilatère (frontière comprise), on obtient un segment dont tous les points appartiennent à cette surface, alors ce quadrilatère est convexe.

Si au moins deux côtés se coupent, alors il est croisé.

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barbamama

Merci les filles (j'espère ne pas me tromper) d'avoir pris la temps de me répondre, mais je ne suis pas encore convaincue (je sais, j'ai la tête dure) :

Vous savez comment sont faits les problèmes de géométrie : on part généralement d'une figure simple (triangle, rectangle, ...), on fait placer plusieurs autres points (projection orthogonale, ....), ce qui fait qu'on obtient une figure complexe. Et dans cette figure complexe, on demande par exemple de montrer qu'une des (nouvelles) figures simples la constituant est un parallélogramme :

* c'est une figure nouvelle qu'on vient de construire : donc de fait, on ne peut pas nous avoir dit au préalable dans l'énoncé qu'elle est convexe ou non

* montrer que le segment joignant deux points quelconques de cette figure est entièrement inclus dans cette figure me paraît super balèse.....voire impossible !

Mais je peux me tromper !

Ce qui me gêne dans les corrections d'exos, c'est qu'on dit d'office que la nouvelle figure est convexe, sans démonstration, alors que celà ne peut être un pré-requis de l'énoncé.

Voilà, voilà....

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Disons qu'on nous demandera de démontrer qu'un polygone est concave plutôt que convexe, non? Dans ce cas, suffit de montrer qu'un segment reliant deux points de la figure est en partie à l'extérieur de ce polygone.

En général, c'est admis implicitement qu'on a affaire à un polygone convexe car ça n'est pas toujours spécifié. Je me trompe?

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barbamama

Dur, dur de se faire comprendre quand ses interlocuteurs n'ont pas le support sous les yeux....Mais merci en tout cas d'essayer !

Voilà les 2 corrections qui me posent problème :

* Annales 2004 COPIRELEM : Sujet Aix-Marseille 2004, Exercice 4, Question 3 (Démontrer que les quadrilatères AICK,..... sont des parallélogrammes). Dans le corrigé page 135, il est dit :"Le quadrilatère AICK possède donc deux côtés parallèles et de même longueur, comme de plus il est convexe, c'est un parallélogramme". C'est le "comme de plus il est convexe" qui me pose problème. Qu'est-ce qui fait qu'on peut dire, sans démonstration, qu'il est convexe ?

* Hatier concours, Tome 2, Sujet 11, Toulouse 1999, page 277, Question 1a

Dans la correction p284, il est dit "Le quadrilatère AECF est non croisé et il a deux côtés opposés de mêmes longueur et parallèles, c'est donc un parallélogramme". Or, on a démontré nulle part qu'il était non croisé...

Est-ce qu'il suffit de "voir" sur la figure qu'un quadrilatère est convexe ou non croisé pour considérer que celà est "démontré" ?

Je sais, je me fais des noeuds au cerveau....

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Bonsoir,

Et avec ça ?

Un quadrilatère est convexe si tous ses angles sont des angles saillants. Si le quadrilatère possède un angle rentrant alors il est concave.

Un angle saillant a une mesure inférieure à 180°. Si cette mesure est supérieure à 180° alors l'angle est rentrant

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Dominique
Est-ce qu'il suffit de "voir" sur la figure qu'un quadrilatère est convexe ou non croisé pour considérer que celà est "démontré" ?

Beaucoup de personnes (à commencer par moi) utilisent le théorème suivant : "Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme".

Or, si on veut être tout à fait rigoureux ceci n'est vrai que si le quadrilatère est convexe (sinon on peut avoir un quadrilatère croisé qui vérifie la propriété sans être un parallélogramme).

C'est pourquoi dans les corrigés on trouve ce que tu as écrit.

Tu as bien raison de te demander pourquoi on n'éprouve pas la peine de justifier que le quadrilatère est convexe alors qu'on dit souvent "il ne suffit pas de voir sur la figure".

Ben, oui, c'est comme ça. On considère que c'est "évident".

Aucune démonstration ne peut être parfaitement rigoureuse et tout va dépendre du contexte, de la personne à qui on s'adresse en l'écrivant ...

Je pense, pour ma part que pour le CRPE, il peut être bon d'ajouter que le quadrilatère est convexe quand on veut utiliser la propriété dont on parle ici mais que ce serait une perte de temps inutile que de vouloir essayer de le démontrer.

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barbamama

Ah.... Merci Dominique, tu as compris mon souci !

Je vais désormais pouvoir utiliser cette démonstration sans me demander si je ne vais pas être pénalisée parce que je n'ai pas démontré que le quadrilatère était convexe : je le considèrerai comme acquis.

Merci encore pour la clarté de tes commentaires.

Bonne journée.

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  • 15 years later...
Namurois de B

J'arrive 15 ans après et excusez-moi si je réveille d'anciennes inquiétudes.

Je viens d'être confronté au même dilemme que Barbamama - Poil de carotte et en cherchant sur Google je suis tombé sur votre discussion.

Moi aussi je trouve difficile d'admettre que l'on ne soit pas obligé de montrer que le polygone est convexe. Je ne sais ce que vous pensez du fait de justifier qu'un polygone est convexe en démontrant que tous ses angles sont inférieurs à 180°.  Je crois que Velma - Grincheux y fait allusion. Je ne sais si c'est évident chaque fois mais voici 3 pistes qui pourraient apporter un peu plus de rigueur si vous acceptez cette idée (montrer que la mesure des angles est inférieure à 180 °)

              on donne une valeur à un ou plusieurs angles de la  figure (évidemment < 180°)

              on peut placer un ou plusieurs angles de la figure dans une figure dont on est certain que la mesure  est < 180°

              on peut égaler la mesure d'un ou plusieurs angles de la figure à la mesure d'autres angles dont on sait qu'ils ont une valeur < 180°

Je ne sais si cette note va réveiller une réflexion mais si cela intéresse, je peux envoyer l'exemple (très simple) qui m'a confronté à ce dilemme.. 

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  • 3 weeks later...
vieuxmatheux

Il est étonnant que cette discussion porte sur la convexité. en réalité c'est le caractère non croisé qui importe.

Si vous placez sur une feuille 4 points (sans que trois d'entre eux soient alignés) et que vous tracez ensuite tous les quadrilatères possibles ayant ces ponts comme sommets, il y a deux situations possibles :

  1. l'un des points est à l'intérieur du triangle formé par les trois autres, dans ce cas les trois quadrilatères que vous pouvez tracer sont non croisés et concaves.
  2. dans les autres cas on peut tracer un quadrilatère non croisé et deux quadrilatères croisés.

Au CRPE, l'usage est de ne s'intéresser qu'aux quadrilatères non croisés. Quand une question porte sur un quadrilatère, il est implicitement admis que celui-ci est non croisé. C'est pourquoi on n'embête pas les candidats qui, comme le signale Dominique, utilisent une formulation du théorème qui n'en fait pas état. 

Si deux segments sont parallèles et de même longueur, ils sont les côtés opposés de deux quadrilatères : l'un est croisé, l'autre est un parallélogramme. C'est implicitement toujours de ce dernier qu'il est question au crpe.

Évidemment, ça a de la classe d'écrire "les côtés opposés [AB] et [CD] du quadrilatère ABCD sont parallèles et de même longueur, de plus ce quadrilatère n'est pas croisé (ce que nous admettons), c'est donc un parallélogramme" mais ça ne rapporte rien de plus que la version simple. Ça peut même vous nuire si un peu plus loin vous commettez, peut être par étourderie, une erreur de raisonnement jugée grossière par les correcteurs car votre soucis de rigueur passera alors plutôt pour un formalisme déplacé. 

En ce qui concerne les quadrilatères concaves non croisés, ils ne peuvent pas avoir de côtés parallèles, c'est pourquoi le concept de convexité/concavité ne me semble pas pertinent dans cette histoire.

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