Voilà un exercice avec sa correction, mais je n'arrive pas à comprendre la démonstration alors qu'effectivement je vois bien que P et R sont symétriques.

Si vous avez des explications ou une autre démonstration ...

Merci d'avance.

Sujet :

Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. [MN] est un diamètre de C.

La médiatrice du segment [MO] coupe le cercle C en P et R.

Démontrez que les points P et R sont symétriques par rapport à la droite (MN).

Correction :

On appelle s la symétrie orthogonale par rapport à la droite (MN).

On nomme Δ la médiatrice du segment [OM].

M, O et N étant sur la droite (MN) (invariante par s), on a s(M) = M, s(N) = N et s(O) = O.

De plus, l'image d'un cercle de centre O par s est un cercle de centre s(O) et de même rayon. Ainsi,

s© = C.

Et, une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie orthogonale étant invariante, on a s(Δ) = Δ.

De s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

Voilà un exercice avec sa correction, mais je n'arrive pas à comprendre la démonstration alors qu'effectivement je vois bien que P et R sont symétriques.

Si vous avez des explications ou une autre démonstration ...

Merci d'avance.

Sujet :

Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. [MN] est un diamètre de C.

La médiatrice du segment [MO] coupe le cercle C en P et R.

Démontrez que les points P et R sont symétriques par rapport à la droite (MN).

Correction :

On appelle s la symétrie orthogonale par rapport à la droite (MN).

On nomme Δ la médiatrice du segment [OM].

M, O et N étant sur la droite (MN) (invariante par s), on a s(M) = M, s(N) = N et s(O) = O.

De plus, l'image d'un cercle de centre O par s est un cercle de centre s(O) et de même rayon. Ainsi,

s© = C.

Et, une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie orthogonale étant invariante, on a s(Δ) = Δ.

De s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

Quelle partie de la démo tu ne comprends pas exactement ?

Ne faut-il pas prouver + simplement que [MO] médiatrice de [PR] ?

Cette partie reste trouble.

Je n'ai pas compris pourquoi de s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

Cette partie reste trouble.

Je n'ai pas compris pourquoi de s© = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P

ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s® = P. P et

R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

Alors comme O apartient à (MN), O est invariant par s (car s= symétrie orthogonale par rapport à (MN) donc s((MN))=(MN)).

Donc l'image d'un cercle de centre O est lui même car toujours même diamètre puisque la symétrie concerve les distances et donc ici le diamètre. L'image par s de C est aussi un cercle de même centre (ici O) et de même diamètre donc c'est le même cercle.

Ensuite, Δ est la médiatrice de [OM] donc si on appelle D le point d'intersection de (MO) et (PR)=(Δ), C reste constant car D appartient à (MN) et s(MN)=(MN).

Comme Δ est la médiatrice de [OM], alors chaque point de Δ est équidistant de M et de O.

De plus, comme P et R appartienent au cercle C [OP]=[OR]. On a deux triangles OPD et ODR ayant un côté commun et un second côté égaux, ils sont donc égaux, d'où [DR]=[DP].

Comme [DR]=[DP] et que D appartient à (MN) et Δ, on a s([DR])=[DP] .

Δ est donc invariante par s.

Comme C et Δ sont invariants par s alors l'intersection de s et Δ est invariant par s.

Comme M et N n'appartiennent pas à (MN), ils ne sont pas invariants par la symétrie, et comme [DR]=[DP] (comme dit plus haut) alors s®=P

J'espère avoir éclaici un peu les choses sinon dit le j'essayerai de clarifier encore

Il fallait donc s'aider du rayon du cercle et des triangles.

Merci pour ton aide.

hello

on peut faire autrement ( mais memes proprietes ! )

Le triangle POR est isocele de sommet O ( 2 rayons) . Donc la hauteur (OM ) est aussi mediatrice de [PR] .

donc axe de symétrie du triangle.

ciao

hello

on peut faire autrement ( mais memes proprietes ! )

Le triangle POR est isocele de sommet O ( 2 rayons) . Donc la hauteur (OM ) est aussi mediatrice de [PR] .

donc axe de symétrie du triangle.

ciao

Franchement, je préfère de loin cette méthode.... Plus simple, pour un résultat identique.

Merci.

hello

on peut faire autrement ( mais memes proprietes ! )

Le triangle POR est isocele de sommet O ( 2 rayons) . Donc la hauteur (OM ) est aussi mediatrice de [PR] .

donc axe de symétrie du triangle.

ciao

simple, concis, efficace

pourquoi chercher midi à 14h?