Exercice : pavage de parallélépipèdes

Bonjour,

Je ne comprends pas la solution d'un exercice (annales 98) qui concerne le pavage d'un solide par un autre. Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer ?

Je ne comprends pourquoi on passe par une écriture multiplicative de 40 ? et pourquoi on ne passe pas par le calcul du PGCD par exemple.

Merci et bonnes révisions !

-------------------------

énoncé :

L'histoire se limite aux boîtes parallélépipédiques dont les dimensions sont des nombres entiers de centimètres. L'histoire dit qu'une boîte Q pave une boîte P si la boîte P est exactement et parfaitement remplie avec un nombre entier (strictement supérieur à un) d'exemplaires de la boîte Q (après remplissage, il n'y a pas de trou et rien ne dépasse).

Deux boîtes B1 et B2 ont les dimensions suivantes : B1 : 72 x 48 x 36 et B2 : 80 x 60 x 48

1.2. Est-ce qu'une des boîtes pave l'autre ? Si oui, avec combien d'exemplaires ?

corrigé :

Non ! Il faudrait au minimum que 40 puisse s'écrire sous la forme 40 = a x 36 + b x 48 + c x 72 où a, b et c seraient des entiers naturels. Ce n'est évidemment pas le cas, car

a) si a = 0, b = 0 et c = 0, alors a x 36 + b x 48 + c x 72 = 0 ≠ 40 ;

b) si a = 1, b = 0 et c = 0, alors a x 36 + b x 48 + c x 72 = 36 ≠ 40 ;

c) et si a > 1, b > 0 ou c > 0, alors a x 36 + b x 48 + c x 72 > 40.