On considere le rationnel dont l'ecriture à vigule est r= 2,370, la periode etant 370

1- ecrire ce rationnel sous la forme p/q

2- la division euclidienne de 64 par 27 donne 2+10/27

* Effectuer la division euclidienne de 100 par 27 .En deduire l'egalité :

64/27 = 2+3/10+1/10 (19/27)

et en deduire le chiffre des dixiemes de l'ecriture à virgule de 64/27

* Reiterer la procedure pour trouver le chiffre des centiemes et milliemes de 64/27

* Retrouver en utlisant ces calculs :

- pourquoi l'ecriture decimale de 64/27 est periodique et infinie

- pourquoi on obtient par ce procedé un seul chiffre à chaque quotient

3- Utiliser l'egalité ecrite en 2* pour donner une valeur excate de l'erreur commise en remplaçant 64/27 par 2,3

4- quelle serait l'erreur commise en choisissant comme valeur approchée 2,4 ?

Pourquoi cette erreur est elle inferieure à un dixieme ?

Merci de m'eclairer sur ce probleme ..l'ai un doute

soit x = 2.370370370...

1000x = 2370.370...

1000x-x = 2368

999x = 2368

x= 2368/999

Donc p/q = 2368 / 999 = (37x64)/(27x37) = 64/27

On donne : 64/27 = 2 + 10/27

Calculons 100/27 => 100 = 27 x 3 + 19. Donc on peut écrire (27x3 +19)/27

D'où :

64/27= 2 +(10/27) = 2 + (10/27)(10/10)

64/27= 2 + (100/27)(1/10)

64/27= 2 + ((27x3 + 19)/27)(1/10)

64/27= 2 + ((27x3)/27)(1/10) + (19/27)(1/10)

64/27= 2 + 3/10 + (1/10)(19/27)

Le chiffre des dixièmes est donc 3.

Je travaille la suite là, le jour du concours, je me serais fait foudroyé pour ma lenteur :'(

Voilà pour le début de la 2ème question:64/27=2+10/27 (A)

On nous demande de faire la division euclidienne de 100 par 27 :

100=3*27+19

d'où 100/27=3+19/27 (je divise les 2 côtés de l'agalité par 27

de plus 10/27=(1/10)*(100/27) c'est pour faire apparaître le résultat que l'on vient de trouver

donc la relation (A) s'écrit : 64/27=2+(1/10)*(3+19/27)=2+3/10 + (1/10)*(19/27)

donc le chiffre des dixièmes, c'est 3 ;

pour les centièmes, il faut faire la division euclidienne de 190 par 27 :

190=27*7+1

soit 190/27=7+1/27

de plus 19/27=(1/10)*(190/27)

on peut écrire (A) : 64/27=2+3/10+(1/10)*(1/10)*(190/27)=2+3/10+1/100*(7+1/27)=2+3/10+7/100+(1/100)*1/27

donc le chiffre des centièmes c'est 7

Pour le chiffre des millièmes on divise 10 par 27, or 10<27 donc 10=0*7+10

1/27=(1/10)*(10/27)

et (A) s'écrit : 64/27=2+3/10+7/100+1/100*(1/10)*(10/27)=2+3/10+7/100+0/1000+(1/1000)*(10/27)

Le chiffre des millèmes c'est 0

Pour trouvrer le nombre suivant on va diviser 100/27...tiens c'était le premier calcul

donc on recommence la même série de calcul

Post raté

Oups, excuse moi Marcos, j'étais en train d'éditer mon premier message.

Pas de soucis, j'ai pas trouvé la solution que tu as trouvé ^^

Merci

Pourquoi on obtient par ce procédé un seul chiffre à chaque quotient ?

Euh, ce n'est pas le principe de la division euclidienne :

Dividende = diviseur*quotient + reste, le quotient étant entier pour touver les chiffres après la virgule on multiplie le reste par 10 (comme dixième) et on recommence :

reste*10=diviseur*quotient_2 +reste_2

Alors : Dividende =diviseur*quotient +1/10*(diviseur*quotient +reste_2)

etc...

je ne suis pas sûre que ça convienne bien comme réponse

Allez, on continue avec l'erreur commise, c'ets plus facile :

64/27-2.3 = 64/27-2-3/10

D'après la relation obtenue,

64/27=2+3/10+7/100+(1/1000)*10/27

on a 64/27-2-3/10=7/100+1/2700

Si on prend 2.4 comme valeur approchée

2+4/10-64/27)=2+4/10-2-3/10-7/100-1/2700=1/10-7/100-1/2700

Cette erreur est donc inférieure à 1/10éme puisque à ce nombre, on retranche l'erreur trouvée précedemment.