Exercice 3 :

1°) - [AB}est un segment de longueur 6 cm.

Pour chacune des questions a), b ), c) ci-dessous le candidat donnera une réponse

sans justification:

- soit en faisant une figure et en la décrivant;

-soit en donnant une définition mathématique de l'ensemble demandé.

Quel est l'ensemble des points Mdu plan vérifiant:

a) AM< BM ?

b ) AM est le plus petit côté du triangle ABM?

c) ABM est un triangle rectangle?

2°) - On considère trois points A, B, C non alignés du plan.

a) Etablir l'existence d'un seul point 1du plan tel que lA = IB = IC.

Construire ce point à la règle et au compas sur la figure 1 donnée en annexe

en laissant visibles les traits de construction.

Soit D un point du plan tel que trois quelconques des quatre points A, B, C, I.

ne soient pas alignés.

J désigne le point du plan tel que JA =JB =JD.

K désigne le point du plan tel que KA = KC = KD.

L désigne le point du plan tel que LB = LC = LD.

b)Montrer que si I et J sont confondus alors les quatre points l, J, K, L sont

confondus.

Quelle est alors la position relative des points A, B, C, D ?

c) On suppose que I et J sont distincts.

Caractériser la position relative des points A, B, C, D (tels que trois d'entre

eux ne soient pas alignés) pour que le quadrilatère IJKL soit un

parallélogramme.

Faire une construction dans ce cas en complétant la figure 2 de l'annexe 1.

d) Est-il possible de trouver une position relative de A, B, C, D pour que IJKL

soit un rectangle ?

Je crois que j'ai réussi la 1ère question et le début de la 2ème mais à partir de Soit D un point du plan tel que trois quelconques des quatre ... Je patauge!!! cryin

ah, au fait pour les annexes je n'arrive pas à les joindre mais les figures représentent toutes les deux un triangle quelconque abc

Bon, ce n'est pas simple, pour les deux dernières questions.

Allons y.

1)

a ) Le demi-plan délimité par la médiatrice de [AB] et contenant A, non compris la médiatrice en question.

b ) Les points du demi-plan ci-dessus qui sont également dans le disque de centre A et de rayon AB

c ) La réunion de :

- la droite passant par A et perpendiculaire à (AB)

- la droite passant par B et perpendiculaire à (AB)

- le cercle de diamètre [AB]

2)

a)

IA = IB => le point I est sur la médiatrice de [AB]

IC = IB => le point I est sur la médiatrice de [bC]

IA = IC => le point I est sur la médiatrice de [AC]

A,B et C ne sont pas alignés. Or on sait que les médiatrices d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection est ici notre point I.

I est aussi le centre du cercle de rayon IA (ou IB ou IC).

Je vous laisse faire le dessin.

b )

Les trois points A, B et C appartiennent au cercle de centre I et de rayon IA.

Les trois points A, B et D appartiennent au cercle de centre J et de rayon IA.

Si I et J sont confondus, alors ces deux cercles sont confondus (même centre, même rayon).

Par conséquent, les quatre points A,B,C et D sont sur un même cercle de centre I (ou J).

On en déduit que le point K, centre du cercle contenant A, C et D, ainsi que le point L, centre du cercle contenant B, C et D, sont également confondus avec I et J.

Position relative des 4 points : ils sont sur un même cercle.

c)

On sait que :

- I appartient à la médiatrice de [bC] (I est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC)

- L appartient à la médiatrice de [bC] (L est le point d'intersection des médiatrices du triangle BCD)

- J appartient à la médiatrice de [AD] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

- K appartient à la médiatrice de [AD] (K est le point d'intersection des médiatrices du triangle ACD)

(IL) est donc la médiatrice de [bC], et (JK) la médiatrice de [AD].

Si on veut que IJKL soit un parallélogramme, alors (IL) doit être parallèle à (JK).

Donc la médiatrice de [bC] doit être parallèle à la médiatrice de [AD].

Donc (BC) doit être parallèle à (AD).

De même :

- I appartient à la médiatrice de [AB] (I est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC)

- J appartient à la médiatrice de [AB] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

- K appartient à la médiatrice de [CD] (K est le point d'intersection des médiatrices du triangle ACD)

- L appartient à la médiatrice de [CD] (L est le point d'intersection des médiatrices du triangle BCD)

(IJ) est donc la médiatrice de [AB], et (KL) la médiatrice de [CD].

Si on veut que IJKL soit un parallélogramme, alors (IJ) doit être parallèle à (KL).

Donc la médiatrice de [AB] doit être parallèle à la médiatrice de [CD].

Donc (AB) doit être parallèle à (CD).

Conclusion :

(AB) parallèle à (CD) et (BC) parallèle à (AD).

Donc ABCD est un parallélogramme.

Je vous laisse faire le dessin.

d)

On sait que :

- I appartient à la médiatrice de [AB] (I est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABC)

- J appartient à la médiatrice de [AB] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

et :

- J appartient à la médiatrice de [AD] (J est le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD)

- K appartient à la médiatrice de [AD] (K est le point d'intersection des médiatrices du triangle ACD)

Si on veut maintenant que IJKL soit un rectangle, il faut qu'en plus, par rapport à la question précédente, on ait un angle droit entre 2 côtés consécutifs.

Donc par exemple, que (IJ) soit perpendiculaire à (JK).

=> la médiatrice de [AB] est perpendiculaire à la médiatrice de [AD]

=> (AB) est perpendiculaire à (AD)

Il suffit donc que ABCD soit un parallélogramme (vu à la question précédente) et qu'en plus (AB) soit perpendiculaire à (AD)

Autrement dit, il faut que ABCD soit un rectangle.

je suis d'accord avec toi jusqu'a la question 2b

mais la 2c on demande que ce soit le quadrilatère IJKL qui soit un parallélogramme et toi tu dis :

(AB) parallèle à (CD) et (BC) parallèle à (AD).

Donc ABCD est un parallélogramme.

ça doit être bon ce que tu as écrit, il doit juste y avoir quelques modifs à faire, idem pour la question 2d, ou alors c'est moi qui comprends rien...J'ai déjà du mal d'habitude mais là j'avoue que je suis perdue... cryin

Mais dans l'énoncé on te demande de caractériser A, B, C, et D tels que IJKL soit un parallélogramme.

Donc tu pars de l'hypothèse IJKL est un parallélogramme, tu en déduis les propriétés des points I, J, K, L et donc des points A, B, C, D, ce qu'à fait Hubert.

ça doit être bon ce que tu as écrit, il doit juste y avoir quelques modifs à faire, idem pour la question 2d, ou alors c'est moi qui comprends rien...

Je ne pense pas qu'il y ait des modifs à faire, tu peux me faire confiance...