sujet 2002 maths

ona A,B,C,D non alignés et I,J,K,L tels que

IA=IB=IC

JA=JB=JD

KB=KC=KD

LA=LC=LD

la réponse de la question précédente donne que si I et J sont le meme point et bien alors I,J,K,L superposés et A,B,C,D sont sur le meme cercle.

voici la question qui me pose probleme

donner la position relative des points A,B,C,D pour que IJKL soit parallélogramme ?

la réponse est surement parallélogramme, mais je ne sais pas comment justifier.

la question d'apres est : est'il possible que ABCD soit un rectangle ?

merci d'avance

première chose, pour que I soit à égale distance de A, B et C, il faut qu'il soit le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, donc le point concourant des 3 médiatrice (BC), (AB) et (AC)

De même pour les autres

Donc les points IJ sont tous 2 sur la médiatrice de AB

KL sur la médiatrice de CD

IK sur la médiatrice de BC

et JL sur la médiatrice de AD

1ere chose pour que IJKL soit un parallélogramme, il faut que (IJ)//(KL)

et(IK)//(JL)

Or (IJ) perpendiculaire à (AB) et (KL) est perpendiculaire à (CD)

Si (IJ)//(KL) cela implique donc que (AB)//(CD)

De même si (IK)//(JL) cela implique que (BC)//(AD)

On a affaire à un quadrilatère donc les côtés sont 2 à 2 parallèles, c'est donc un parallélogramme. donc on arrive bien à ta conclusion ABCD parallélogramme

Enfin c'est ce que je pense

mais j'avoue j'ai repris le Hatier, car je m'y perds tjrs entre les orthocentre, centre de gravite , centre des cercles inscrits et circonscrits

Si ABCD est un parallélogramme, cela veut donc dire que la médiatrice de (AB) est la même droite que la médiatrice de (DC), donc que IJKL sont alignés

j'ai donc le sentiment que le seul point concourant ne puisse qu'être l'intersection des diagonales, donc IJKL confondus

merci,

j'avais résolu facilement l'année dernière, mais la je me suis entété à trouver la solution graphiquement et je m'agaçais.

bon courage a tous pour les révisions

Benoit