Voici 2 exercices que je n'arrive pas à résoudre :

1- Trouver le plus petit nombre entier qui a 21 diviseurs.

2- Prouver qu'un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.

2- Prouver qu'un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.

soit un carré parfait : 6 au carré

6 x 6 = 36

36 = 2x2x3x3

il a donc comme diviseurs :

2

3

2x2 = 4

2x3 = 6

3x3 = 9

2x2x3 = 12

2x3x3 = 18

Et aussi 1 et 36 car il peut être divisé par 1 et par lui même.

Ce qui fait en tout 9 diviseurs

1- Trouver le plus petit nombre entier qui a 21 diviseurs.

2 puissance 20

Qui a comme diviseur :

1

2

2Puiss2

2Puiss3

2Puiss4

2Puiss5

2Puiss6

2Puiss7

2Puiss8

2Puiss9

2Puiss10

2Puiss11

2Puiss12

2Puiss13

2Puiss14

2Puiss15

2Puiss16

2Puiss17

2Puiss18

2Puiss19

2Puiss20

M'enfin 2Puiss20 ça fait 1 048 576

Euh... comme premier entier ayant 21 diviseurs, j'ai comme un doute

Voilà ce que j'ai trouvé :

1ère question :

Soit un nombre n qui se décompose en facteurs premiers avec ses exposants de la façon suivante

n = 2 (puissance X) x 3 (puissance Y)

Le nombre de diviseurs de ce nombre n est égal à (X+1)x(Y+1) = 21

Dans ce cas là, 7x3 = 21

ou encore (6+1) (2+1) = 21

Par conséquent X=6 et Y=2

On a donc n = 2 (puissance 6) x 3 (puissance 2)

n = 576

2ème question :

Le carré parfait d'un nombre n se décompose en facteurs premiers de la même façon.

Dans le cas d'un carré parfait, les exposants des facteurs premiers sont des nombres pairs.

Par conséquent, si on rajoute 1 aux exposants des facteurs premiers pour calculer le nombre de diviseurs, ce dernier sera toujours impair.

Je ne sais pas si c'est très clair mon histoire.

600 SS

On a donc n = 2 (puissance 6) x 3 (puissance 2)

n = 576

Je me disais bien

Par contre je saisis pas les + 1 dans (x+1) x (y+1)

D'où sortent-ils ?

Azertynin :

- Si N se décompose en a puissance z x fois b puissance y x c puissance t....., avec a, b, c premiers alors il aura (x+1)(y+1)(t+1)... diviseurs. (théorème)

- dans ton premier message, tu ne fais pas de démonstration, mais tu prends un exemple (ce qui n'est pas valable comme démonstration).

Azertynin,

quand on fait une décomposition en nbres premiers, on peut calculer directement le nbre de diviseurs à partir des exposants de la décomposition :

exemple :

12 = 2 x 2 x 3 = 2² + 3

(on prend les exposants auxquels on ajoute 1 et on les multiplie)

dc le nbre de diviseurs de 12 est = (2+1) (1+1) = 6

autre exemple :

4540725 = 5 x 5 x 3 x 3 x 3 x 7 x 31 x 31 = 5² x 33x 7 x 31²

dc le nbre de diviseurs de 4540725 est = (2+1) (3+1) (1+1) (2+1) = 72

Bonsoir,

Pour le 1er exercice je trouve moi aussi 576 :

nb de diviseurs = 21 = 7*3 (une seule décomposition possible)

le nb qu'on cherche s'écrit A puiss a * B puiss b et le nb de ses diviseurs = (a+1)*(b+1)

comme on cherche le plus petit nombre possible :

a+1 = 7

b+1 = 3

d'où a=6 et b=2 et A=2 B=3

donc 2 puiss 6 * 3 puiss 2 = 576

pour le deuxième exo :

N² = carré parfait

N=A puiss a * B puiss b * C puiss c ...

N² = A puiss 2a * B puiss 2b * C puiss 2c ...

le nombre de diviseurs de N² = (2a+1) (2b+1) (2c+1) ...

quelque soit a, b, c ... 2a+1 est impair, 2b +1 aussi ...

le produits de nombres impairs est impair donc le nombre de diviseurs d'un carré parfait est tjs impair.

Voilà