merci

Comment montrer que si a/b < c/d alors a/b < a+c/b+d < c/d ? merci

Je suppose que les nombres a, b, c et d sont tous des nombres positifs (si ce n'est pas le cas ce que j'écris ci-dessous n'est pas valable mais je pense que ce doit être le cas car sinon ce que tu demandes de démontrer n'est pas vrai).

L'hypothèse a/b < c/d est équivalente à ad < bc (car b et d sont positifs).

On doit démontrer que : a/b < (a +c)/(b+d) et (a + c) / (b + d) < c/d.

La première relation est équivalente à a(b + d) < b(a + c) (car b + d et a + c sont positifs). Quand on développe et qu'on simplifie on trouve ad < bc qui est bien vérifié par hypothèse.

La deuxième relation est équivalente à d(a + c) < c(b + d) (car a + c et b + d sont positifs). Quand on développe et qu'on simplifie, on trouve à nouveau ad < bc qui est vérifié par hypothèse.

Donc, si a/b < c/d alors a/b < (a +c)/(b+d) < c/d (avec a,b,c et d positifs).

Comment montrer que si a/b < c/d alors a/b < a+c/b+d < c/d ? merci

Je suppose que les nombres a, b, c et d sont tous des nombres positifs (si ce n'est pas le cas ce que j'écris ci-dessous n'est pas valable mais je pense que ce doit être le cas car sinon ce que tu demandes de démontrer n'est pas vrai).

L'hypothèse a/b < c/d est équivalente à ad < bc (car b et d sont positifs).

On doit démontrer que : a/b < (a +c)/(b+d) et (a + c) / (b + d) < c/d.

La première relation est équivalente à a(b + d) < b(a + c) (car b + d et a + c sont positifs). Quand on développe et qu'on simplifie on trouve ad < bc qui est bien vérifié par hypothèse.

La deuxième relation est équivalente à d(a + c) < c(b + d) (car a + c et b + d sont positifs). Quand on développe et qu'on simplifie, on trouve à nouveau ad < bc qui est vérifié par hypothèse.

Donc, si a/b < c/d alors a/b < (a +c)/(b+d) < c/d (avec a,b,c et d positifs).

Merci j'ai bien compris le raisonnement, par contre j'ai un peu de mal avec l'équivalence a/b < c/d et ad < bc , pourquoi peut on dire ça ?

j'ai un peu de mal avec l'équivalence a/b < c/d et ad < bc , pourquoi peut on dire ça ?

Si on suppose que a/b < c/d alors on peut, en multipliant les deux membres de l'inégalité par bd et en simplifiant, en déduire que ad < bc (remarque importante : on ne change pas le sens de l'inégalité car bd > 0).

Dans l'autre sens, si on suppose que ad < bc alors on peut, en divisant les deux membres de l'inégalité par bd et en simplifiant, en déduire que a/b < c/d (remarque importante : on ne change pas le sens de l'inégalité car bd > 0).

super, maintenant cette démonstration me parait limpide! merci beaucoup