(J'ouvre un nouveau post pour remettre cet exercice.)

Vous avez aimé cette règle, vous en redemandez? Alors voilà de quoi vous satisfaire :

c'est un exercice que j'ai trouvé (issu de Grenoble, Lyon 2002) avec cette fameuse règle... qui était donnée :

"Un entier naturel n est divisible par 11 ssi la différence (1° chiffre en partant de la droite + 3° chiffre + 5° chiffre + ...) - (2° chiffre en partant de la droite + 4° + 6° +...) est divisible par 11 (ou la somme des chiffres de rang impair diminuée de la somme des chiffres de rang par est divisible par 11).

Exemples:

6457 est divisible par 11; en effet : (7+4)-(5+6)=0

19346701 est divisible par 11 ; on a (1+7+4+9) - (0+6+3+1) =11

1. On considère tous les nombres entiers naturels de 4 chiffres diffférents écrits avec les chiffres 2,5,6 et 9.

a) Parmi ces nombres, déterminez-en un qui est divisible par 11.

b) Par mi ces nombres, déterminez tous les nombres qui sont divisibles par 11. ECrivez les.

2. On considère tous les nombres entiers naturels de 6 chiffres différents écrits avec les chiffres 1,2,3,4,5 et6. Parmi ces nombres, existe-t-il un nombre qui est divisible par 11? Justifiez votre réponse."

Bon courage! Ca ne valait que 2 points, ce qui peut faire la différence quant même! J'espère que vous trouverez car la correction est longue dans le bouquin!

je couche les enfants et je mets mon cerveau en ébullition ...

pour le 1er exo, je n'ai pas eu de pbm, à moins que je me sois plantée.

Voici tous les nombres à 4 chiffres avec 2, 5, 6 et 9 divisible par 11 :

2596 ; 2695 ; 5269 ; 5962 ; 6259 ; 6952 ; 9526 ; 9625

Pour l'exo 2, j'ai envie de te dire qu'a priori, il n'y a pas de nombre à 6 chiffres divisible par 11 avec les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Je ne trouve pas de point d'équilibre.

L'ensemble de ces nombres fait 21, est-ce pour cette raison ? 21 n'est pas divible ni par 11 ni par 2, donc pas d'équilibre possible ?

autre hypothèse :

Je retrouve une symétrie qui fait 7 à chaque fois (donc nombre premier et rien à voir avec 11) :

1+6=7

2+5=7

3+4=7

Non, vraiment, je donne ma langue au chat ! As-tu une réponse plus mathématique que les miennes ?

Ma chère Shubert, je ne sais pas si nous sommes les deux seules edpiennes à nous éclater sur la divisibilité par 11, mais voici le nouveau jeu que je propose (je ne l'ai pas encore fait et à cette heure-ci, mon cerveau m'enverrait ballader si je le lui proposais) :

Les lettres a et a' représentent des entiers naturels.

Dans la division eucl. de a par 11, le reste est r

Dans la div eucl de a' par 11, le reste est r'

Déterminer le reste :

a) dans la division euclidienne de a + a' par 11

b) dans la division eucl. de 3a par 11.

pour le deuxième exercice:

a) le reste est égal à (r+r') si r+r'<11 sinon il est égal à (r+r'-11)

b) si r<4 alors le reste est égal à 3r

4=<r=<7 il est égal à 3r-11

r>8 il est égal à 3r+22

sinon pour le premier exercice, vous avez une explication de la seconde partie à part des "intuitions"???

je n'ai ni regardé la correction d'abracadabra, ni mon corrigé.

Je propose :

1. Quel est le reste pour a+a'/11 ?

r+r' si <11

si r+r' = 11 alors la réponse est 0

et si r+r'>11 alors la réponse est 11-(r+r')

2. Quel reste pour 3a/11 ?

a=(11xb)+r

3a=(3x11xb) + 3r

3a=11x3b+3r

Le reste est donc égal à 3r, à condition biensûr que 3r soit strictement inférieur à 11, sinon même principe que ci-dessus.

je mets en ligne la réponse demain soir.

pour le deuxième exercice:

b) si r<4 alors le reste est égal à 3r

        4=<r=<7  il est égal à 3r-11

            r>8 il est égal à 3r+22

pas compris

Pour l'exo que j'ai proposé (grenoble, lyon 2002), voilà le corrigé:

1 a) On voit par exemple que : 2+9=6+5 6+5-(9+2)=0

On en déduit que 2596 est divisible par 11.

b) Tous les nombres avec les chiffres 2,5,6 et 9 (il y en a 24) sont testés selon le critère de l'énoncé. Il y a 8 solutions :

2596

2695

5269

5962

6259

6952

9526

9625

2. Supposons qu'il existe un nombre n répondant aux xpécifications de l'énoncé, on aurait:

n=abcdef avec (f+d+b)-(e+c+a) multiple de 11.

On aurait aussi en considérant la plus petite et la plus grande différence:

(1+2+3)-(6+5+4)<(f+d+b)-(e+c+a)<(6+5+4)-(1+2+3)

-9<(f+d+b)-(e+c+a)<9

Et comme 0 est le seul divisible par 11 compris en ter -9 et 9:

(f+d+b)-(e+c+a)=0 soit f+d+b-e-c-a=0

Or la somme d'entiers relatifs f+d+b-e-c-a contient 3 nb pairs et 3 nb impairs, elle est nécessairement impaire.

En résumé, s'il existait un nombre n=abcdef répondant aux spécifications de l'énoncé, on aurait la contradiction suivante:

f+d+b-e-c-a=0 et f+d+b-e-c-a impair. Donc pas de nombre composé de 1,2,3,4,5 et 6divisible par 11 (j'ai fait plus simple qu'eux!) :P

Merci Sandring pour ta proposition d'énoncé (je vois qu'on est plusieurs à s'éclater sur ce genre de problème!), mais je l'ai déjà fait 3 fois, avec à chaque fois beaucoup de mal. Je vais essayer de recommencer avant de regarder les corrections proposées.

Bonne chance pour la suite!

b) si r<4 alors le reste est égal à 3r

        4=<r=<7  il est égal à 3r-11

            r>8 il est égal à 3r+22

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Sandring, je viens de voir que j'avais un peu cafouillé! je reprends....

Le reste est égal à 3r pourvu que 3r ne soit pas supérieur à 11 car dans ce cas il faut retrancher 11 encore une fois

si r<4 alors le reste est égal à 3r

j'aurais plutôt du mettre si r <= 3 (inférieur ou égal à)

dans ce cas 3r est inférieur ou égal à 9 alors le reste est 3r

si 4=<r=<7 il est égal à 3r-11

dans ce cas 3r est compris entre 12 et 21 on doit donc retrancher 11 pour avoir le reste 3r-11 compris entre 1 et 10

si r>8 il est égal à 3r+22

zut c'est r >=8 (supérieur ou égal à 8) alors 3r est supérieur ou égal à 24 (et inféreur strictement à 33 car r est inférieur à 11)

alors le reste vaut 3r-22 (oups je m'aperçois que je m'étais trompée! ) pour être inférieur à 11

Désolée mais je m'aperçois que j'avais fait plusieurs erreurs d'écriture: le stress de voir mon forfait défiler et de vouloir en garder un peu avant la fin du mois

(j'ai fait plus simple qu'eux!) :P

<{POST_SNAPBACK}>

j'espère qu'on aura encore plus simple comme solution à rédiger "ce" jour-là!!!