Ds le parallélogramme ABCD, M est un point de la demi droitre [AD). N est un point de la droite (AD) tel que MN = AM et M différent de N. Le point P est le point où les droites (CM) et (BN) se coupent.

L'objectif de cet exercice est de déterminer certaines positions du point P qd M se deplace sur la demidroite[AD).

On note P1 la position du point P quand M est sur A. Définir la position du point P1.

On note P2 la position du point P quand M est sur D. Définir la position du point P2.

On note P3 la position du point P quand M est sur le milieu de [AD). Montrer que P3 est aligné avec P1 et P2.

Si quelqu'un a une idée pour démontrer que les points sont alignés!!!???

merci

SOphie

Indice : montrer que P3 est le centre de gravité du triangle ACD...

il ya eu un sujet la dessus dans CRPE exercices; retrouve le, tout est expliqué!

Je propose la solution suivante :

1) P1 = A

(évident)

2) En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles NAB et NDC, il est facile de voir que P2 est le milieu du segment [DC]

3) Il faut faire un dessin pour bien voir ce qui se passe. Je vous laisse à tous le soin de le faire.

Ensuite, on raisonne :

BD est une diagonale du parallélogramme ABCD. Or les deux diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu. Donc BD passe par le milieu de [AC] (deuxième diagonale). Il en résulte que BD est une médiane du triangle ACD (passe par un sommet et le milieu du côté opposé).

De même, CM3, par construction, est une médiane du triangle ACD.

De la question 2), on déduit que AP2 est la troisième médiane du triangle ACD.

Ces 3 médianes se coupent en un point unique. Or, par définition, P3 est le point d'intersection de CM3 et de BD (ou BN, c'est la même chose). Donc P3 est le point d'intersection des 3 médianes en question.

On en conclut que P3 appartient, entre autres, à la médiane AP2, et donc que A (c'est-à-dire P1), P2 et P3 sont alignés.

CQFD