Bonjour à tous !

Voici un exercice d'arithmétique à vous mettre sous la dent juste au cas où vous vous ennuyez ;-)))

1) Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par 42, le quotient est q, nombre supposé connu, et le reste est 8.

2) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 12 de a + 28, puis de a + 40 .

3) Quels sont les entiers naturels x pour lesquels le quotient de la division euclidienne par 42 de a + x est q + 1 ?

Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par un entier naturel b, le quotient est 42 et le reste 8.

a) Quelle est la + petite valeur possible de a ?

b) Déterminer a et b pour que le reste de la division de a+3 par b soit égal à 0.

Bon courage à tous et à bientôt !

Agnès

est il possible d avoir aussi le corrigé

merci

Voici un exercice d'arithmétique à vous mettre sous la dent juste au cas où vous vous ennuyez ;-)))

1) Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par 42, le quotient est q, nombre supposé connu, et le reste est 8.

2) Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 12 de a + 28, puis de a + 40 .

Un début de réponse pour le reste de la division par 12 de (a+28)

on a 28/12 = 12*2 + 4 (reste 4<12)

or le reste de (x+y)/12 est le reste de x/12 + reste de y/12 si celui-ci est <12 (sinon on refait la division de cette somme par 12)

ca donne donc : reste de (a+28)/12 => reste de a/12 = r=8et reste de 28/12=4 => 8+4=12 => on redivise par 12 et le reste est 0

pour le quotient par contre

Argh ! j'édite ! r est le reste de a/42 et pas a/12 !!!

mais je pense que la méthode est dans ce gout là !

Je pense qu'il faut partir avec la définition suivante :

1 veut dire que a=42xq+8

A partir de là, on doit pouvoir répondre. je me pense sur la question ce soir.

Qui trouvera?

Courage!

moi aussi je suis partie sur cette relation mais avec deux inconnues c'est chaud!! voici une ébauche de raisonnement (Attention tout ce que je dis est peut etre faux)

a=bq+r donc

a=42q+8 et a+28=12q+r

on peut remplacer a par 42q+r ce qui nous donne la relation suivante:

42q+8+28=12q+r

42q+36=12q+r

42q-12q+36=r

30q+36=r

mais maintenant je me retrouve avec deux inconnues!!!

Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par 42, le quotient est q, nombre supposé connu, et le reste est 8.

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 12 de a + 28, puis de a + 40 .

On sait que a = 42q + 8.

On en déduit :

- que a + 28 = 42q + 36 et donc, comme 36 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 28 par 42 le quotient vaut q et le reste vaut 36

- que a + 40 = 42q + 48 donc que a + 40 = 42(q + 1) + 6 et donc, comme 6 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 40 par 42 le quotient vaut q + 1 et le reste vaut 6.

L'astuce à consister à remplacer 42q + 48 par 42q + 42 + 6 puis à remplacer 42q + 42 + 6 par 42(q + 1) + 6 car on veut arriver à une écriture du type 42 × Q + R avec R< 42.

Quels sont les entiers naturels x pour lesquels le quotient de la division euclidienne par 42 de a + x est q + 1 ?

a + x = 42q + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 42 + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 34 + x

Le quotient dans la division euclidienne de a + x par 42 vaut donc q + 1 si 0 - 34 + x < 42 donc si 34 x < 76

Là on a utilise le fait que si on a une écriture du type A = B x (q + 1) + R, le quotient dans la division euclidienne de A par B est égal à q + 1 si 0 R < B

Heu.... ba encore une fois j'ai rien compris.... desolée...

On doit pas chercher la valeur de q et de r?

Dans la division euclidienne d'un entier naturel a par un entier naturel b, le quotient est 42 et le reste 8.

a) Quelle est la + petite valeur possible de a ?

On sait que a = b x 42 + 8 et 8 < b

La plus petite valeur possible pour a est 386 (correspond à b = 9).

b) Déterminer a et b pour que le reste de la division de a+3 par b soit égal à 0.

On sait que a = 42b + 8 donc a + 3 = 42b + 11

On doit avoir en plus a + 3 = b × q

On en déduit qu'on doit avoir : qb = 42b + 11 soit (q - 42) × b = 11.

Or 11 est un nombre premier et ne peut donc être écrit, comme produit de nombres entiers, que sous la forme 1 x 11.

Comme 8 < b c'est nécessairement b qui vaut 11 et q - 42 qui vaut 1.

On en déduit que b = 11 et q - 42 = 1

donc que b = 11 et q = 43

donc que b = 11 et a = bq - 3 = 43 x 11 -3 = 470

Conclusion : a = 470 et b = 11.

On doit pas chercher la valeur de q et de r?

Non (d'ailleurs il est bien dit que q est supposé connu).

Ceci dit, ce genre d'exercice n'est pas très facile ...

c pas encore cette fois-ci que je vais illuminer par mes connaissances en maths!! zut zut zut!!!

On sait que a = 42q + 8.

Illustration : on sait que 42 enfants se sont partagé équitablement a bonbons, qu'ils en ont eu chacun q et qu'il en est resté 8.

On en déduit :

- que a + 28 = 42q + 36 et donc, comme 36 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 28 par 42 le quotient vaut q et le reste vaut 36

Si les 42 enfants obtiennent 28 bonbons supplémentaires, avec les 8 bonbons qui restent ça fait 36 bonbons de plus à se partager. Il n'y en a pas assez. Chaque enfant a toujours q bonbons et il reste 36 bonbons.

- que a + 40 = 42q + 48 donc que a + 40 = 42(q + 1) + 6 et donc, comme 6 < 42, que, dans la division euclidienne de a + 40 par 42 le quotient vaut q + 1 et le reste vaut 6.

Si les 42 enfants obtiennent 40 bonbons supplémentaires, avec les 8 bonbons qui restent ça fait 48 bonbons de plus à se partager. Chaque enfant peut avoir un bonbon supplémentaire (et a donc q+1 bonbons) et il reste 6 bonbons.

a + x = 42q + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 42 + 8 + x donc a + x = 42(q + 1) - 34 + x

Le quotient dans la division euclidienne de a + x par 42 vaut donc q + 1 si 0 - 34 + x < 42 donc si 34 x < 76

Les enfants ont chacun q + 1 bonbons et donc un bonbon supplémentaire chacun si le nombre de bonbons supplémentaires est compris entre 34 (inclu) et 76 (exclu) car alors, avec les 8 bonbons qui restent, ça fait entre 42 (inclu) et 84 (exclu) bonbons de plus à se partager.

c pas encore cette fois-ci que je vais illuminer par mes connaissances en maths!! zut zut zut!!!

Il faut "jouer" avec la définition suivante :

dans la division euclidienne de a par b, q est le quotient et r est le reste si : a = bq + r ET 0 r < b.

Et, encore une fois, ce n'est pas facile et il est tout à fait normal que tu ais des difficultés...

Plus on fait d'exercices de ce type, mieux ça va ...