Rsalut

Rien ne vaut une bonne formulation a l'ancienne :

Des paralleles decoupent sur des secantes des longueurs de maniere proportionnelle.

disons que c'est le theoreme de Thales "direct" ( la demonstration est assez technique d'ailleurs avec les aires , surtout en geometrie "classique")

donc si l'on reflechit, le FAIT qu'il y ait des paralleles donne la consequence sur les rapports egaux ( une proportion : deux rapport egaux ) all right ?

la reciproque dit que si les rapports sont egaux , ALORS les droites sont paralleles.

remarques :

1) ce theoreme ne dit rien sur les "troisiemes cotés" au depart

2) c'est une propriete affine, que l'on peut exprimer autrement .

ciao

Merci pour vos réponses....

J'y vois plus clair !!!

Puisque I est le milieu de [bC] et K le milieu de [AC], alors (KI) // (AB) et KI = 1/2 * AB (théorème des milieux)

Soit maintenant le triangle LIK

L, M, I et L, A, K sont alignés dans le même ordre et on a (MA) // (IK) (puisque M appartient à (AB) et que (AB) // (IK))

On peut appliquer Thalès :

LM/LI = LA/LK = MA/IK

Or, comme L est le symètrique de K par rapport à A, L est le milieu de [AK]

Donc LA/LK = 1/2

Par conséquent, on a aussi MA/IK = 1/2

MA = 1/2 IK = 1/2 * (1/2 * AB) (car on a démontré au début que IK = 1/2 AB)

MA = 1/4 AB

je pense que c'est A milieu de [LK] non ? d'ailleurs on le voit sur ta figure

Puisque I est le milieu de [bC] et K le milieu de [AC], alors (KI) // (AB) et KI = 1/2 * AB (théorème des milieux)

Soit maintenant le triangle LIK

L, M, I et L, A, K sont alignés dans le même ordre et on a (MA) // (IK) (puisque M appartient à (AB) et que (AB) // (IK))

On peut appliquer Thalès :

LM/LI = LA/LK = MA/IK

Or, comme L est le symètrique de K par rapport à A, L est le milieu de [AK]

Donc LA/LK = 1/2

Par conséquent, on a aussi MA/IK = 1/2

MA = 1/2 IK = 1/2 * (1/2 * AB) (car on a démontré au début que IK = 1/2 AB)

MA = 1/4 AB

je pense que c'est A milieu de [LK] non ? d'ailleurs on le voit sur ta figure

Oui, désolée