question : existe -t-il une autre façon pour pourvoir faire le 2 avant le 3 (démontrer que BGCE est un parallélogramme ??

Oui, avec le théorème de la droite des milieux dans le triangle ABE, on démontre que (IG), avec I milieu de [AB] et G milieu de [AE] puisque E est le symétrique de A par rapport à G, est parallèle au troisième côté [bE]. Après on fait la même chose dans le triangle ACE. Ce qui permet de démontrer que le quadrilatère BGCE a ses côtés parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme.

Ensuite on enchaîne sur la troisième question. Puisque c'est un parallèlogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc K est le milieu de [bC]... Puisque (AG) coupe [bC] en K et que K est le milieu de [bC], alors (AG) est la troisième médiane du triangle ABC.

Pour la construction j'ai placé le point K milieu de [bC] (médiatrice avec le compas), puis j'ai tracé la droite (KG). Pour finir j'ai reporté deux fois la longueur KG sur la droite (KG) pour trouver le point A. (Propriété des médianes : AG = 2/3 AK)

Merci beaucoup Azertynin