PGCD et PPCM

[Cortomalte]

Je trouve cette partie assez complexe : quel est l'usage de ces nombres ? Et où trouver une technique clairement expliquée pour les calculer ?

[schwa]

Pour trouver les deux, il faut décomposer les nombres sous produit de nombres premiers.

Par exemple, tu cherches le PGCD et le PPCM de 15 et 36.

15 = 3x5 ; 36 = 2x18 = 2x2x9 = 2x2x3x3=2²x3²

On constate qu'en commun, on a juste une fois 3. ça c'est le PGCD (le plus grand diviseur commun, on peut diviser les deux par 3).

Pour le PPCM on cherche le plus petit multiple commun, il faut prendre une fois chacun des nombres premiers qu'on retrouve dans les décompositions de 15 et 36, soit ici 3, 5 et 2 MAIS avec le plus grand exposant, la plus grande puissance (c'est-à-dire le plus grand nombre de fois que je le trouve dans l'une ou l'autre des décompositions). Donc, "le plus grand" 5 qu'on trouve, c'est juste 5. Pour 2 et 3, on a 2² et 3² (plus grand que 3, qu'on trouve dans la décompo de 15). Donc au final, on a PPCM = 5x2²x3²=180

Les deux servent à simplifier ou mettre sur dénominateurs communs des fractions mais on s'en sert après pour d'autres équations en algèbre (je ne me souviens plus bien car ça fait longtemps, mais je me rappelle m'en être servie au lycée pour calculer d'autres trucs).

Essaie avec 42 et 18 pour que je vois aussi si j'ai été claire ! A l'écrit j'ai plus de mal qu'à l'oral en montrant ce dont je parle au fur et à mesure/

[virginieD82]

Bonjour,

J'ai voulu essayer aussi...

Peux tu me dire si c'est bien ça ? J'avais as revu depuis un moment les PPCM et PGCD !

j'espère que c'est ça...

Donc pour 42 et 18 :

PGCD = 3

PPCM = 7x3²x2 = 126.

Merci pour ton aide !

[Futuremaitresse!]

C'est tout bon!

Bon courage

[schwa]

Bonjour,

J'ai voulu essayer aussi...

Peux tu me dire si c'est bien ça ? J'avais as revu depuis un moment les PPCM et PGCD !

j'espère que c'est ça...

Donc pour 42 et 18 :

PGCD = 3

PPCM = 7x3²x2 = 126.

Merci pour ton aide !

Pour le PGCD j'aurais dit 6 plutôt que 3.

PPCM 126 aussi

[Cortomalte]

Merci

et j'ai mis un post en français Help!!! qui peut me répondre svp ?

[virginieD82]

Coucou.... petit coup d'oeil sur le forum pour essayer d'avoir les avis sur les écrits d'aujourd'hui et pour réviser un peu les maths... Pouvez vous me dire alors s'il faut mettre 3 ou au PGCD de l'exercice ci dessus svp ?

Merci et bon courage pour demain !!!

[Emi76]

Coucou !

J'espère que ça a été le français. Plus que demain

Pour moi, c'est 6.

[vieuxmatheux]

Oui, c'est 6… une autre façon de voir les choses est de ce dire qu'un diviseur de 42 est une partie de sa décomposition en facteurs premiers.

Comme 42 = 2 x 3 x 7, les diviseurs de 42 sont tous les morceaux possible de cette décomposition, soit 2, 3 , 7, 2x3, 2x7, 3x7 ou 2x3x7.

Cette façon de voir a l'inconvénient d'oublier le nombre 1 qui est un diviseur de n'importe quel entier et qui ne fait pas partie de la décomposition en facteurs premiers, il faut donc le rajouter.

Pour 18 qui est égal à 2 x 3 x 3 on peut faire la même chose, le plus grand nombre apparaissant dans les deux listes est le pgcd, c'est 2 x 3 = 6

On peut aussi ne pas se servir de la décomposition et fabriquer une liste des diviseurs de chaque nombre :

les diviseurs de 42 sont :

1 2 3 6

42 21 14 7

Ceux de 18 sont :

1 2 3

18 9 6

On constate que le plus grand nombre figurant dans les deux listes (c'est à dire le plus grand diviseur commun puisque ce sont des listes de diviseurs) est 6.

Au passage, ce n'est pas par hasard que les diviseurs de chaque nombre sont écrits sur deux lignes : quand on trouve le diviseur 3 de 42, on trouve en même temps le diviseur 14 puisque 3 x 14 = 42. Quand la liste croissante et la liste décroissante "se rejoignent", on a fini.

[virginieD82]

Merci pour l'explication ! je pense avoir bien compris ;-)

Vivement demain 13h que ce soit terminé !

[Chris47]

Salut à tous,

On peut également trouver le PGCD de 2 nombres par soustractions successives.

Ici PGCD (42;18) donne :

42-18 = 24

24-18 = 6

Donc PGCD (42;18) = 6

Bonne continuation!

[vieuxmatheux]

Tout à fait exact, mais à mon avis ça fait un peu abracadabra : il est difficile de voir dans cette méthode le rôle des diviseurs.

Sans compter que si on a la curieuse idée de vous demander le pgcd de trois nombres au lieu de deux, toutes les autres méthodes restent applicables…pas celle ci.

Question annexe : pourquoi cette méthode est elle enseignée au collège ? Je crains de n'avoir point la réponse avant mon départ à la retraite.