LA PROPORTIONNALITE

Deux suites de nombres ayant le même nombre de termes sont dites "proportionnelles" si on peut passer de l'une à l'autre par un même opérateur multiplicatif : le coefficient de proportionnalité

Différents cadres de la proportionnalité

- Cadre algébrique : la formule

- Cadre numérique : le tableau

- Cadre graphique : la représentation, fonction linéaire (droite passant par l'origine)

Procédures de résolution

- Passage à l'unité

- Coefficient de proportionnalité

- Propriété de linéarité additive ou multiplicative

- Rapports égaux

- Produits en croix

- Rapport scalaire (nombres associés à une même variable)

- Graphique

Variables didactiques

- Nature des grandeurs mises en jeu qui peut faciliter ou non l'interprétation du coefficient de proportionnalité

- Relations arithmétiques entre les nombres

- Nombre de couples donnés

- Le cadre de résolution

Thématiques mathématiques liées à la proportionnalité

- Thalès

- Agrandissements et Réductions (homothéties)

- Vitesse : d = v x t

- Pourcentages

- Echelles

LA RESOLUTION DE PROBLEMES

CLASSIFICATION DES PROBLEMES

- Problèmes pour apprendre : construction des connaissances (outils peu performants et/ou connaissances nouvelles entrant en conflit avec les savoirs antérieurs) => Franchissement d'un obstacle

~> Les situations-problèmes

- La situation a pour objectif l'acquisition d'une connaissance nouvelle

- Il y a un ou des obstacles à l'acquisition de la connaissance

- Les élèves peuvent s'approprier facilement la situation

- Les connaissances des élèves sont insuffisantes pour résoudre immédiatement le problème

- Les élèves ont le moyen de valider leur production

- Les élèves peuvent prendre en charge la responsabilité du problème

- La connaissance visée est la plus adaptée pour résoudre le problème correctement

- Problèmes pour réinvestir

Ils permettent l'utilisation "directe" des connaissances acquises.

- Problèmes pour chercher

Apprendre à organiser l'information

Apprendre à chercher, à organiser des stratégies

Apprendre à formuler et communiquer sa démarche

~> Problèmes ouverts : énoncés courts et n'induisant ni la méthode ni la solution

OPPOSITION entre solutions peronnelles et solutions expertes

- Représenter la situation par un dessin

- Formuler des hypothèses jusqu'à atteindre la solution par tâtonnement

- Mettre en équation le problème : procédure experte

LES PHASES LORS DE L'ACTIVITE DE RESOLUTION DE PROBLEME

- Prise d'infomations, recueillir et organiser les données

- Traitement de l'information : mettre en relation les données et rechercher des stratégies de résolution

- Communication de la réponse

~> Grandes phases socio-constructivistes

- Appropriation individuelle de la situation : dévolution

- Action, recherche par groupes

- Formulation, explicitation

- Validation

- Institutionnalisation

- Application, réinvestissement

LES VARIABLES DIDACTIQUES

- Forme de l'énoncé

- Nombre d'informations

- Nature des informations

- Présence ou non de mots inducteurs

- Possiblité de s'approprier l'énoncé en changeant de modalité d'expression

- Nature du questionnement

- Types de stratégies pouvant être mises en place

Cf. Les termes du contrat didactique !

GEOMETRIE

GEOMETRIE PLANE THEORIE

Les droites

- Parallélisme

** Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles

** Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles

Théorème de la droite des milieux

Théorème de Thalès

- Perpendicularité

** Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre

Théorème de Pythagore

Les angles

Angle saillant

Angle rentrant

Angle droit

Angle plat

Angle nul

Angle aigu

Angle obtus

Angles complémentaires

Angles supplémentaires

Angles adjacents

Angles alternes-internes

Angles alternes-externes

Angles correspondants

Angles inscrits (attention à l'angle droit)

Angles au centre (mesure - angle droit)

Les triangles

- Inégalité triangulaire

- Triangle isocèle

- Triangle équilatéral

- Triangle rectangle

- Les droites remarquables

Médiatrices = cercle circonscrit au triangle

Médianes = centre de gravité

Hauteurs = orthocentre

Bissectrices = cercle inscrit au triangle

- Théorème de Thalès et sa réciproque

- Théorème des milieux et sa réciproque

** La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle parallélement à un autre côté passe par le milieu du troisième côté

** La droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté

** Par ailleurs, si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle mesure la moitié du troisième côté

-Théorème de Pythagore et sa réciproque

** Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés de l'angle droit

** Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle

Applications :

-> Dans un carré de côté a, la longueur de la diagonale est aV2

-> Dans un triangle équilatéral, la hauteur est égale à aV3/2

Les quadrilatères

- Polygone concave ou convexe

- Le trapèze

- Le parallélogramme

- Le rectangle

- Le losange

- Le carré

Le cercle

Merci beaucoup

merci merci et encore merci :P

encore une fois...

GEOMETRIE

GEOMETRIE PLANE DIDACTIQUE

- Espace physique / Espace géométrique

- CALVES & BROUSSEAU distinguent trois espaces :

Micro espace

Meso espace

Macro espace

LES OBJECTIFS DE L'ECOLE PRIMAIRE

- Reproduire : réalisation d'une copie exacte de l'objet en présence

- Décrire : s'exprimer sur l'objet

- Représenter : multiplicité des représentations associées à un même objets

- Construire : réalisation hors de la présence d'un modèle (à partir d'une description détaillée ou d'un programme de construction)

+ Compétences techniques : maniement de certains instruments pour tracer mais aussi pour obtenir des informations

+ Vocabulaire spécifique

+ Connaître et reconnaître les éléments caractéristiques d'une figure

+ Organiser une démarche

+ Avoir des qualités de soin et de précision

VARIABLES DIDACTIQUES

- Support du tracé : papier blanc ou papier quadrillé

- Orientation

- Nombre d'informations

- Instruments

- Consignes

LES PROGRESSIONS

- Le point, la ligne, la ligne droite, ...

- La progression catalogue des figures calssiques aux figures plus rares

- La progression par inclusion de classes, classifications successives

Merci pour ce travail...

Merci beaucoup pour ces fiches!!

GEOMETRIE

LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE

- Le polyèdre

- La relation d'EULER :

F + S = A + 2

Le tétraèdre régulier

Le cube

L'octoèdre régulier

Le dodécaère régulier

L'iosaèdre régulier

Le prisme

Le parallélépipède

La pyramide

Le cylindre

La sphère

Le cône

LES REPRESENTATIONS

- Perspective cavalière

- Perspective axonométrique

- Le patron

=> DIDACTIQUE : le PATRON à l'école

Les activités proposées aux élèves pour établir le lien entre un patron et un solide sont les suivantes :

** Association de patrons et de polyèdres

** Association de patrons correspondant au même solide

** Construction de patrons

** Travail sur les vues en perspective

** Détermination de faux patrons

** Recherche exhaustive de tous les patrons

** Reconnaissance de faux solides

Pour reconnaître un patron : l'enfant doit s'assurer que toutes les faces sont représentées, que les côtés des polygones se correspondent après par pliage et que deux faces ne superposent pas

Variables didactiques : nature du solide / présence ou non du solide / possibilité ou non de découper et plier le dessin

Pour construire le patron : empreinte des faces, l'enfant peut dessiner le patron en faisant rouler le solide sur une feuille et en traçant l'empreinte de chaque face

LES TRANSFORMATIONS

LA SYMETRIE AXIALE OU ORTHOGONALE

La symétrie axiale est LA SEULE transformation géométrique présente à l'école élémentaire du CP au CM2

- Construction du symétrique d'une figure par rapport à un axe donné

Pliage

Usage du papier quadrillé

Usage du papier calque

Usage du papier blanc avec équerre ou compas

Main levée

=> Variables didactiques : la figure, les outils, l'axe

- Identification de l'axe de symétrie d'une figure

LA SYMETRIE CENTRALE

LES DEPLACEMENTS : ROTATION ET TRANSLATION

LES REDUCTIONS ET AGRANDISSEMENTS

Homothétie de centre O et de rapport K est un agrandissement de la figure si K est supérieur à 1 ou une réduction si K est inférieur à 1

Cf. Proportionnalité

LES MESURES

PLUSIEURS GRANDEURS

- Grandeurs non repérables

- Grandeurs repérables mais non sommables

- Grandeurs mesurables (relations d'équivalence, d'ordre, d'addition et de multiplication)

LA COMPARAISON DES GRANDEURS REPERABLES ET MESURABLES

- Comparaison directe de deux objets

- Comparaison avec utilisation d'un objet intermédiaire, un étalon

- Comparaison par une transformation licite : on reporte l'objet sans recouvrement et chevauchement de façon à encadrer la grandeur à mesurer

- Mesurage

~> Les mesures

- Longueur

- Masse

- Capacité

- Surface

- Volume

- Durée

~> Formulaire pour les périmètres, les aires, les volumes

Choix de la formule

Identification des valeurs

Réalisation du calcul

~> Progression :

- Constuire le sens de la mesure

- Activités de mesurage

- Utilisation d'une unité conventionnelle