« Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre » constitue un apprentissage essentiel de la numération à l’école élémentaire.
Mais derrière cette formulation apparemment simple se cachent des tâches de difficultés très différentes.
Reconnaître que 347 = 3 centaines + 4 dizaines + 7 unités n’engage pas les mêmes connaissances que comprendre que :
34 milliers + 60 dizaines + 5 unités = 34 605.
Pour certains élèves, proposer trop rapidement ce second type de situation risque de masquer l’origine réelle des difficultés. Une progression par étapes permet au contraire de construire solidement la compréhension du système décimal.
1. Comprendre ce que signifie « représenter un nombre »
Un même nombre peut être représenté de différentes manières.
Prenons 347.
On peut l’écrire :
en chiffres : 347 ;
en lettres : trois-cent-quarante-sept ;
sous forme additive : 300 + 40 + 7 ;
avec les unités de numération : 3 centaines + 4 dizaines + 7 unités ;
mais également : 34 dizaines + 7 unités ;
ou encore : 2 centaines + 14 dizaines + 7 unités.
Toutes ces écritures désignent le même nombre.
Passer de l’une à l’autre suppose cependant une compréhension de plus en plus approfondie du fonctionnement de notre système de numération décimale.
Le principe fondamental est celui des échanges entre unités :
10 unités = 1 dizaine
10 dizaines = 1 centaine
10 centaines = 1 millier, etc.
C’est cette compréhension qui permettra progressivement à l’élève de manipuler des décompositions moins conventionnelles.
2. Première étape : installer la décomposition canonique
Il paraît préférable de commencer par la représentation la plus directement liée à l’écriture positionnelle du nombre.
Avec 347 :
347 = 3 centaines + 4 dizaines + 7 unités
ou :
347 = 300 + 40 + 7.
L’élève doit comprendre que, dans 347 :
le chiffre 3 représente 3 centaines ;
le chiffre 4 représente 4 dizaines ;
le chiffre 7 représente 7 unités.
Le matériel de numération, les représentations de centaines, dizaines et unités ainsi que le tableau de numération peuvent accompagner cette première étape.
Il est important de travailler dans les deux sens :
347 → 3 centaines + 4 dizaines + 7 unités
mais aussi :
5 centaines + 2 dizaines + 8 unités → 528.
À ce stade, mieux vaut privilégier des nombres suffisamment simples pour que la taille des nombres ne constitue pas elle-même un obstacle.
3. Deuxième étape : dissocier l’ordre d’énonciation de la valeur des unités
Une difficulté supplémentaire peut ensuite être introduite sans changer le nombre.
Par exemple :
7 unités + 3 centaines + 4 dizaines = ?
L’élève doit retrouver 347.
Cette situation est intéressante parce qu’elle permet de vérifier que l’élève ne se contente pas de placer les chiffres dans l’ordre où ils lui sont donnés.
Il doit comprendre que « 3 centaines » désigne une quantité de 300, quelle que soit sa place dans l’énoncé.
On peut alors multiplier les formulations :
4 dizaines + 7 unités + 3 centaines
7 unités + 4 dizaines + 3 centaines
3 centaines + 7 unités + 4 dizaines
Toutes conduisent à 347.
4. Troisième étape : comprendre qu’une même quantité peut être exprimée avec différentes unités de numération
C’est une étape fondamentale.
On peut demander :
Combien y a-t-il de dizaines dans 340 ?
Puis faire apparaître l’équivalence :
3 centaines + 4 dizaines = 34 dizaines.
On obtient alors :
347 = 34 dizaines + 7 unités.
Cette écriture est beaucoup plus exigeante que :
347 = 3 centaines + 4 dizaines + 7 unités.
L’élève doit mobiliser la relation :
1 centaine = 10 dizaines.
Donc :
3 centaines = 30 dizaines
et :
30 dizaines + 4 dizaines = 34 dizaines.
Le recours à la manipulation ou à une représentation visuelle peut être particulièrement utile : une centaine peut être échangée contre dix dizaines.
5. Quatrième étape : décomposer autrement un nombre
Lorsque les relations entre unités sont suffisamment solides, on peut proposer des décompositions non canoniques.
Ainsi :
347 = 2 centaines + 14 dizaines + 7 unités.
Pourquoi ?
Parce que l’une des 3 centaines a été échangée contre 10 dizaines :
3 centaines + 4 dizaines
devient :
2 centaines + 14 dizaines.
On pourra progressivement proposer d’autres représentations :
347 = 1 centaine + 24 dizaines + 7 unités
puis :
347 = 34 dizaines + 7 unités.
L’objectif n’est pas que l’élève apprenne mécaniquement une procédure, mais qu’il comprenne que la quantité reste identique malgré les échanges entre unités.
6. Cinquième étape : combiner changement d’unité et changement d’ordre
On peut maintenant associer les deux difficultés travaillées précédemment.
Par exemple :
7 unités + 34 dizaines = ?
ou :
14 dizaines + 7 unités + 2 centaines = ?
L’élève doit simultanément :
identifier les unités de numération ;
effectuer mentalement les échanges nécessaires ;
ne pas tenir compte de l’ordre dans lequel les éléments sont présentés ;
recomposer le nombre.
On comprend alors pourquoi une telle tâche est sensiblement plus difficile que la simple lecture d’un tableau de numération.
7. Sixième étape : augmenter progressivement la taille des nombres
Ce n’est qu'une fois ces mécanismes compris avec des nombres relativement petits que l’on peut augmenter progressivement la taille des nombres.
Par exemple :
3 425 = 3 milliers + 4 centaines + 2 dizaines + 5 unités
puis :
3 425 = 34 centaines + 2 dizaines + 5 unités
ou :
3 425 = 342 dizaines + 5 unités.
On pourra également désordonner les termes :
5 unités + 3 milliers + 42 dizaines = 3 425.
Puis travailler sur des nombres comportant davantage de chiffres :
34 605 = 3 dizaines de milliers + 4 milliers + 6 centaines + 5 unités.
8. Arriver progressivement à « 34 milliers + 60 dizaines + 5 unités »
Nous pouvons maintenant comprendre tout ce que suppose une écriture telle que :
34 milliers + 60 dizaines + 5 unités.
L’élève doit savoir que :
34 milliers = 34 000
et que :
60 dizaines = 600.
Il doit donc recomposer :
34 000 + 600 + 5 = 34 605.
Pour un élève qui maîtrise les relations entre unités de numération, cette écriture peut devenir parfaitement accessible.
Mais elle cumule plusieurs difficultés :
le nombre est relativement grand ;
toutes les positions ne sont pas explicitement représentées ;
le nombre de dizaines dépasse 9 ;
les termes ne correspondent pas directement aux chiffres de l’écriture finale ;
la recomposition nécessite de comprendre les relations entre différentes unités de numération.
Il peut donc être risqué d'utiliser ce type d'exemple comme situation d'entrée lorsque les élèves commencent tout juste à travailler cette compétence.
Une progression possible
On pourrait ainsi envisager le cheminement suivant :
Étape 1 – Décomposition canonique
347 = 3 centaines + 4 dizaines + 7 unités
Étape 2 – Même décomposition dans un ordre différent
347 = 7 unités + 3 centaines + 4 dizaines
Étape 3 – Regroupement dans une unité inférieure
347 = 34 dizaines + 7 unités
Étape 4 – Décomposition non canonique
347 = 2 centaines + 14 dizaines + 7 unités
Étape 5 – Décomposition non canonique et ordre différent
347 = 14 dizaines + 7 unités + 2 centaines
Étape 6 – Augmentation de la taille des nombres
3 425 = 3 milliers + 42 dizaines + 5 unités
Étape 7 – Nombres plus grands et représentations complexes
34 605 = 34 milliers + 60 dizaines + 5 unités.
Cette progression n’est évidemment pas un parcours rigide. Certaines étapes pourront être franchies rapidement par certains élèves, tandis que d’autres auront besoin de davantage de manipulation et d’entraînement.
Diagnostiquer avant de complexifier
Lorsqu’un élève échoue devant une décomposition complexe, il est utile de revenir à des nombres plus simples.
Il ne s’agit pas de « faciliter » artificiellement l’exercice, mais de déterminer où se situe l’obstacle.
Face à un élève qui ne parvient pas à retrouver le nombre correspondant à :
34 milliers + 60 dizaines + 5 unités,
on pourra par exemple vérifier successivement s’il sait que :
3 centaines + 4 dizaines + 7 unités = 347
puis que :
7 unités + 3 centaines + 4 dizaines = 347
puis que :
34 dizaines + 7 unités = 347
puis que :
2 centaines + 14 dizaines + 7 unités = 347.
Selon l’étape à laquelle apparaissent les erreurs, l’enseignant pourra mieux identifier ce qui doit être retravaillé.
Ne pas confondre objectif d’apprentissage et point de départ
Les programmes et ressources institutionnelles peuvent présenter des exemples relativement complexes afin d’illustrer le niveau de compréhension que les élèves doivent progressivement construire.
Cela ne signifie pas nécessairement que ces exemples doivent constituer les premières situations proposées.
En numération comme dans beaucoup d’autres domaines, la complexité peut être construite progressivement.
Commencer avec des nombres plus simples ne signifie donc pas diminuer l’ambition de l’apprentissage. Au contraire : cela permet d’isoler les difficultés, de faire comprendre les propriétés du système décimal et d’installer les connaissances nécessaires avant de les mobiliser dans des situations plus complexes.
L’enjeu n’est finalement pas qu’un élève sache appliquer une recette pour transformer « 34 milliers + 60 dizaines + 5 unités » en 34 605.
L’enjeu est qu’il puisse expliquer pourquoi ces deux écritures représentent exactement le même nombre.
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