Un problème de maths (numération)

[natlaetitia]

Voici la "bête" :

Pour trouver le carré des nombres compris entre 25 et 50, sans calcul :

Voici un exemple : pour trouver 44 au carré : on fait:

On cherche de combien 44 est plus grand que 25 = 19

On cherche ensuite de combien 44 est plus petit que 50 = 6

On met 6 au carré et on obtient 36. On réunit 19 et 36 et c'est le résultat = 1936

Question 1 : Ce procédé limité aux nombres compris entre 25 et 50 est-il général? Justifier la réponse

Question 2 : Proposez une adaptation de ce procédé, valable pour tous les nombres compris entre 25 et 75.

Question 3 : Démontrez la validité de ce nouveau procédé pour tout nombre compris entre 25 et 75.

[ROZ]

Alors pour la question 1, voici ce que je propose:

soit un nombre (du), d étant le chiffre des dizaines et u celui des unités, compris entre 25 et 50

son carré s'écrit (du)²

D'après l'énoncé, on a:

100x[(du)-25] + [50-(du)]² = (du)²

Développons :

100(du) - 2500 + [2500-100(du) + (du)²] = (du)²

Par simplification : (du)² = (du)²

[Dominique]

Pour trouver le carré des nombres compris entre 25 et 50, sans calcul :

Voici un exemple : pour trouver 44 au carré : on fait:

On cherche de combien 44 est plus grand que 25 = 19

On cherche ensuite de combien 44 est plus petit que 50 = 6

On met 6 au carré et on obtient 36. On réunit 19 et 36 et c'est le résultat = 1936

Remarque préalable :

Dans cet énoncé, l'expression "on réunit" n'est pas claire du tout.

En effet, cherchons le carré de 26 avec ce procédé.

On cherche de combien 26 est plus grand que 25. On trouve 1.

On cherche ensuite de combien 26 est plus petit que 50. On trouve 24.

On calcule 24 au carré. On trouve 576.

Si "on réunit" 1 et 576, on trouve 1576 qui n'est pas le carré de 26 qui vaut 676.

En fait 676 = 1x100 + 576.

Pour que le procédé fonctionne pour tous les nombres entre 25 et 50 je propose de modifier l'énoncé en remplaçant l'expression "on réunit 19 et 36" par "on multiplie 19 par 100 et on ajoute 36".

Question 1 : Ce procédé limité aux nombres compris entre 25 et 50 est-il général? Justifier la réponse

Ce procédé n'est pas général puisque si n est plus grand que 50, on ne peut pas chercher "de combien n est plus petit que 50".

Question 2 : Proposez une adaptation de ce procédé, valable pour tous les nombres compris entre 25 et 75.

Proposition :

Soit n un nombre compris entre 25 et 75.

On cherche de combien n est plus grand que 25. Soit a le résultat.

On cherche la différence (on peut dire aussi la distance) entre n et 50. Soit b le résultat.

On calcule b².

Le carré de n vaut a×100 + b².

Question 3 : Démontrez la validité de ce nouveau procédé pour tout nombre compris entre 25 et 75.

b vaut n - 25 et a vaut soit 50 - n (si n est inférieur ou égal à 50) soit n - 50 si n est supérieur ou égal à 50 mais dans les deux cas b² vaut (n - 50 )².

Calculons a × 100 +b².

On trouve (n - 25) × 100 + (n - 50)² soit 100n -2500 + n² -100n + 2500 qui vaut bien n². Le procédé est bien valable.

[ROZ]

Pourquoi b² = (n-50)² dans tous les cas ?

[Dominique]

pourquoi b² = (n-50)² dans tous les cas

Soit n un nombre petit que 50.

b ne vaut pas n - 50 (qui est négatif) (exemple : si n = 40 , 40 - 50 = -10) mais vaut 50 - n (qui est positif) (même exemple : 50 - n =10).

Mais 10 et -10 (et de façon générale 50 - n et n - 50 qui sont des nombres opposés) ont même carré.

[ROZ]

D'accord.

[ROZ]

Mis à part le fait que je me sois e........ée avec mes d et mes u, j'étais quand même un peu sur la voie <_<, mais l'énoncé est bizarre.

[Dominique]

lénoncé est bizarre

Oui ...

[natlaetitia]

Merci infiniment!!!

C'était un énoncé d'une annale du concours! Ca m'énerve les maths car c'est la seule matière où si on ne trouve pas la solution, on ne peut pas ouvrir un livre et trouver comme ça! Ben oui, en anglais, on cherche la signification d'un mot, on trouve mais quand on ne comprend pas un problème de maths..... J'ai pris des cours l'an passé pourtant!!!!!

Merci encore!

[yuyumuf]

Pour la question 1, j'ai répondu oui, car pour moi demander si ce procédé est général, c'est demander s'il est général pour tous les nombres compris entre 25 et 50... ce que j'ai démontré mathématiquement...

Je ne sais pas si vous avez compris comme moi...

Parce que je trouve ça un peu "bebete" de demander s'il est général à tous les nombres, ça coule de source qu'avec des nombres au dessus de 50 ça marche pas (c'est un peu dit ds la question...)

[Dominique]

Pour la question 1, j'ai répondu oui, car pour moi demander si ce procédé est général, c'est demander s'il est général pour tous les nombres compris entre 25 et 50... ce que j'ai démontré mathématiquement...

Je ne sais pas si vous avez compris comme moi...

Parce que je trouve ça un peu "bebete" de demander s'il est général à tous les nombres, ça coule de source qu'avec des nombres au dessus de 50 ça marche pas (c'est un peu dit ds la question...)

Comme le montre ma réponse, je n'ai pas pas compris la même chose que toi à la lecture de l'énoncé de la question 1.

J'ai lu : "Ce procédé, qui est limité aux nombres compris entre 25 et 50, peut-il être généralisé à tous les nombres ?"

Toi tu as lu : "Ce procédé, si on se limite aux nombres compris entre 25 et 50, est-il valable pour tous les nombres (entre 25 et 50) ?"

Comme tu le fais remarquer, mon interprétation conduit à quelque chose d'un peu "bébète" et, comme dit ROZ, l'énoncé semble alors "bizarre".

Je pense, en te lisant et en relisant l'énoncé, que c'est ton interprétation et non la mienne qui correspond vraisemblablement à ce qu'a voulu demander le rédacteur de l'énoncé.

Merci pour cette remarque.

[yuyumuf]

Et après on s'étonne que les enfants ne comprennent pas les énoncés ou ne répondent pas correctement aux questions...

Mais lorsqu'on se retrouve devant des énoncés comme ça y a de quoi se sentir complètement déboussolé...

Franchement, les questions et énoncés mériteraient d'être un peu plus explicite, sinon c'est au "ptit bonheur la chance"...

Dans le doute, je vais tout de même préciser les deux interprétations possibles, comme ça pas de soucis

(même si dans la question suivante ils font remarquer implicitement que ce procédé n'est pas applicable pour un nombre supérieur à 50...)