sujet Bordeau 2006 arithmétique

[doudou]

Bonjour

J'ai le corrigé de l'exercice suivant mais je ne comprends pas pour quelle raison La solution 17 est écartée. Voici le sujet.

Une colonie de vacances qui accueille au maximum cent enfants, organise une course d'orientation par équipes. Chaque équipe est constituée d'au moins deux enfants.

Les moniteurs souhaiteraient qu'il y ait le même nombre d'enfants dans chaque équipe mais s'ils regroupent les enfants par 3, il en restera 2. S'ils les regoupent par 4 il en restera un et ils réussissent à formaer plusieurs équipes, toutes avec le même nombfre d'enfants.

1 combien d'enfants y a-t-il dans cette colonie de vacances?

2 Combien d'équipes sont formées?

le départ du raisonnement

N<100

n=3x+2

N=4y+1

N=5z+2

N-2 multiple de 3 et 5. Donc les multiples de 15 <100 = 15, 45,75. Donc valeur possibles de N-2 = 17, 47,77.

On a 17=4*4+1 47=4*11+3, 77=4x19+1. La solution retenue est 77. Pourquoi n'a-t-on pas retenu 17. J'ai du mal a comprendre cette dernière démarche moi j'aurai écarté uniquement 47. Quelqu'un peut m'expliquer car je n'ai pas vraiment compris l'explication du corrigé. Merci a tous et bon courage

[buldrin]

Ola,

Je viens de le faire. Alors c'est pas très académique et c'est fastidieux. J'ai dréssé la liste de tous les nombres qui divisés par deux donnent 2. J'ai fait pareil pour les nombres divisés par 4 qui ont un reste égal à 1. Les deux listes ont donc les nombres communs suivants :

5

17

29

41

53

65

77

89

Maintenant on nous dit qu'on va avoir des équipes équilibrés. Tu peux donc exclure les nombres premiers qui n'admettent pas de diviseurs entiers à part eux mêmes et 1. Tu vires de la liste : 5,17,29,41,53 et 89 qui sont premiers ( j'espère que tu vois ce que je veux dire) et avec lesquels on ne peut pas faire d'équipe équilibrées. Il reste donc deux solutions 65 et 77. Comme la seule contrainte imposée soit le fait qu'il faille 2 enfants par équipes tu pourras avoir pour 65 : 13 équipes de 5 ou 5 équipes de 13 et pour 77 : 7 équipes de 11 ou encore 11 équipes de 7. L'astuce est ici de repérer les nombres premiers et de les exclure. J'espère avoir répondu à ta question et t'avoir également donné l'autre solution 65(à moins qu'il y ait des contingences que tu n'aies pas données!!)

La bonne journée

Buldrin

"le fanastisme nait là ou un génie s'entoure de beaucoup d'idiots"

[buldrin]

re ola,

Je te donne un site qui calculera les nombres premiers,mais l'idéal serait de les connaître au moins juqu'à 50. On se laisse pas piéger.

http://zonemath.csmv.qc.ca/nombres/naturels/premier.htm

Buldrin

"Continuons le lutte !!!"

[Floredelouest]

Bonjour

J'ai le corrigé de l'exercice suivant mais je ne comprends pas pour quelle raison La solution 17 est écartée. Voici le sujet.

Une colonie de vacances qui accueille au maximum cent enfants, organise une course d'orientation par équipes. Chaque équipe est constituée d'au moins deux enfants.

Les moniteurs souhaiteraient qu'il y ait le même nombre d'enfants dans chaque équipe mais s'ils regroupent les enfants par 3, il en restera 2. S'ils les regoupent par 4 il en restera un et ils réussissent à formaer plusieurs équipes, toutes avec le même nombfre d'enfants.

1 combien d'enfants y a-t-il dans cette colonie de vacances?

2 Combien d'équipes sont formées?

le départ du raisonnement

N<100

n=3x+2

N=4y+1

N=5z+2

N-2 multiple de 3 et 5. Donc les multiples de 15 <100 = 15, 45,75. Donc valeur possibles de N-2 = 17, 47,77.

On a 17=4*4+1 47=4*11+3, 77=4x19+1. La solution retenue est 77. Pourquoi n'a-t-on pas retenu 17. J'ai du mal a comprendre cette dernière démarche moi j'aurai écarté uniquement 47. Quelqu'un peut m'expliquer car je n'ai pas vraiment compris l'explication du corrigé. Merci a tous et bon courage

oulalala

Que de mauvais souvenirs !!! c'est mon concours de l'année dernière & que j'ai galéré sur cet exo !

Je tournais en rond...tournais en rond avec la désagréable impression que la solution était assez simple mais qu'elle m'échappait & que le temps filait !!!

Et bien quand je regarde de nouveau ce sujet .... je recommence à tourner en rond !!!!!!!!!!!!!

J'essaie de le résoudre en ce moment même et je m'embrouille.

Pourquoi annonces-tu N=5z+2 dans ton départ de raisonnement ? ça m'échappe & du coup je ne peux pas suivre ta logique des multiples de 15.

J'essaie de progresser en attendant ta réponse

Bon courage

Flo

[Floredelouest]

Bon, donc je l'ai refait dans mon coin, sans la pression & finalement je m'aperçois que j'ai fait la même démarche laborieuse que Buldrin :

n= 3x +2

n= 4y + 1

n < ou = 100

équipes de 2 minimum

=> liste A (n-2 = 3x) : tous les multiples de 3 compris entre 6 (3 équipes de 2) & 98 (100-2)

=> liste B (n-1= 4y) : tous les multiples de 4 compris entre 8 (4 équipes de 2) & 99 (100-1)

On ajoute 2 à tous les nombres de la liste A & 1 à tous ceux de la liste B (pour obtenir n), tous les nombres en commun sur les 2 listes sont des "n" possibles, à savoir : 17-41-53-65-77-89.

Or, seuls 65 & 77 ne sont pas des nombres premiers & peuvent donc être divisés pour former des équipes équilibrées, i.e. 65 = 13 équipes de 5 ou 5 équipes de 13 ; 77 = 7 équipes de 11 ou 11 équipes de 7.

Sauf qu'il me semble qu'au sortir de l'examen, tout le monde m'a dit que la solution était 77. Alors pourquoi pas 65, mystère & boule de gomme.

Quelqu'un a-t-il la solution ?

Merci

Flo

[Dominique]

il manque la phrase "si on les regroupe par 5, il en reste 2" dans l'énoncé de doudou alors qu'elle figure dans l'énoncé des 2 liens de Dominique.

Effectivement ... je n'ai pas remarqué qu'une partie de l'énoncé avait disparu ...

[doudou]

oui effectivement il manque la phrase "s'ils les regroupent par 5 il en restera 2". je m'excuse je n'ai pas vu qu'il manquait cette partie.

Par contre dans mon corrigé Ils indiquent qu'il ne reste plus comme valeurs possibles de N que 17 ou 77. Or N est égal au produit du nombre d'équipes par le nombre d'enfants par équipe qui est supérieur ou égal à 2 donc N ne peut être 17 qui est un nombre premier. Je n'ai pas compris cette phrase. Est-ce que je pourrais avoir quelques explications ?

D'après Buldrin l'astuce est de repérer les nombres premiers et de les enlever. pourquoi ? A mon avis la réponse doit être simple mais mes neurones ont du mal à saisir. MERCI

[Floredelouest]

oui effectivement il manque la phrase "s'ils les regroupent par 5 il en restera 2". je m'excuse je n'ai pas vu qu'il manquait cette partie.

Par contre dans mon corrigé Ils indiquent qu'il ne reste plus comme valeurs possibles de N que 17 ou 77. Or N est égal au produit du nombre d'équipes par le nombre d'enfants par équipe qui est supérieur ou égal à 2 donc N ne peut être 17 qui est un nombre premier. Je n'ai pas compris cette phrase. Est-ce que je pourrais avoir quelques explications ?

D'après Buldrin l'astuce est de repérer les nombres premiers et de les enlever. pourquoi ? A mon avis la réponse doit être simple mais mes neurones ont du mal à saisir. MERCI

Ah oui, c'est clair là, tes neurones sont fatigués (j'ai les mêmes !! ) car tu donnes toi-même la réponse à ta question :

n est le nombre d'enfants en tout.

Avec n enfants, on doit pouvoir faire y équipes de z coéquipiers (ou invers ;y, z nombres entiers)

Donc n doit pouvoir s'écrire sous la forme y * z ; ce qui n'est pas possible pour 17, car c'est un nombre premier, il n'accepte aucun autre diviseur que 1 & lui-même (On ne peut pas faire 1 équipe de 17 coéquipiers, ni 17 équipes de 1, ça n'a pas de sens & ne correspond pas à l'énoncé : des équipes de 2 enfants minimum).

C'est plus clair ? Euh, du coup, je me demande si mes neurones fatigués ont bien compris ce que tu n'avais pas compris !

Bon repos !!

Flo

[doudou]

Merci Flore49 je m'en doutait mais parfois même si on a la réponse devant nos yeux on a du mal à prendre de la disatance. Mais heureusement que vous êtes tous là pour nous aider. Ainsi on mutualise nos connaissances pour mieux avancer et j'espère pour décrocher le concours.

[sarahbel]

une chose que je ne comprend pas bien, pourquoi dit-on que N-2 est un multiple de 3 et de 5 c'est parce qu'ils ont en commun le reste 2, il en reste 2 enfants à tous les 2 ? Parce que pour moi N n'est ni divisible par 3, 4 , et 5 puisque leur reste n'est pas nul, dominique si t'es dans le coin ça m'aiderait ? :P

[Dominique]

une chose que je ne comprend pas bien, pourquoi dit-on que N-2 est un multiple de 3 et de 5 c'est parce qu'ils ont en commun le reste 2, il en reste 2 enfants à tous les 2 ? Parce que pour moi N n'est ni divisible par 3, 4 , et 5 puisque leur reste n'est pas nul, dominique si t'es dans le coin ça m'aiderait ? :P

Dire que "si on regroupe les n enfants par 3 il en restera deux" c'est dire que le reste de la division de n par 3 vaut 2 c'est donc dire que n = 3q + 2 . Autrement dit, n - 2 = 3q soit "n-2 est un multiple de 3".