déterminer un pourcentage

[maman_de_Zoé]

Bonjour

j'ai énormément de mal à resoudre un probleme de pourcentage quand je n'ai aucun prix et qu'il faut jongler entre un prix initial et un prix final. voici l'énoncé si quelqu'un pouvait m'expliquer en détail la résolution car je ne comprends pas les étapes intermédiaires du corrigé:

le prix initial d'un article, successivement augmenté puis diminué d'un meme pourcentage, a finalemenet baissé de 6,25 %

determiner le pourcentage correspondant à cette augmentation ou diminution du prix de l'article

merci

[Leau]

Soit Y le prix de ton article.

100% du prix de ton article c'est le prix de ton article, ou (100/100)x Y ou encore 1 x Y.

Soit S le 1er prix intermédiaire , et a% son augmentation en pourcentage :

S = 1 x Y + (a/100) x Y = (1+ a/100) Y

Le prix baisse ensuite du même pourcentage a%

Soit Z le prix final

Z = S - (a/100) x S = (1-a/100) x S

Or S = (1+ a/100) x Y

Donc Z = (1- a/100) x (1+ a/100) x Y = (1- a²/100²) x Y

Or au final ton article a baissé de 6.25% du prix initial par rapport au prix initial, soit (6.25/100) x Y ou 0.0625 x Y

Le prix final de l'article est donc la différence entre le prix initial et la baisse constaté (c'est comme quand tu fais les soldes :P ), on a donc aussi :

Z = 1xY - 0.0625 x Y = (1-0.0625) x Y

D'où : (1-0.0625) x Y = (1- a²/100²) x Y

On simplifie par Y et on en déduit que a²/100² = 6.25/100

a²/100 =6.25

a² = 6.25 x 100 = 625

Donc a=25

Le pourcentage recherché est de 25%

J'espère que tu auras compris mon explication

[maman_de_Zoé]

Ah ok !! oui j'ai compris la démarche, en fait je sait comment on calcule un pourcentage d'un prix mais là en fait c'est la mise en équation du probleme qui me faisait défaut <_< , notemment là:

S = 1 x Y + (a/100) x Y = (1+ a/100) Y

Z = S - (a/100) x S = (1-a/100) x S

Or S = (1+ a/100) x Y

Donc Z = (1- a/100) x (1+ a/100) x Y = (1- a²/100²) x Y

Or au final ton article a baissé de 6.25% du prix initial par rapport au prix initial, soit (6.25/100) x Y ou 0.0625 x Y

Le prix final de l'article est donc la différence entre le prix initial et la baisse constaté (c'est comme quand tu fais les soldes :P ), on a donc aussi :

Z = 1xY - 0.0625 x Y = (1-0.0625) x Y

je n'vais pas vu la double égalité de S d'une part et je n'ai pas pensé à traduire lla baisse de 6.25

pfu !!! quelle gourde

merci en tout cas de l'explication

[maman_de_Zoé]

euh je continue alors à vous demander de l'aide, j'en ai marre je fais des exos, y'en a 1 ça va et apres je suis tout le temps bloqué sur la correction sans la comprendre!

alors voilà:

trouver tous les entiers naturel n à 4 chiffres satisfaiasant aux conditions suivantes:

1) le nbr des centaines de n est un nbr premier <20

2) le reste de la division de n /100 est un multiple de 24

3) le reste de la divission de n/9 est >6

4) le reste de la division de n /5 est =1

Dans la correction je comprends déja pas le 1): pourquoi: le nre de centaines de n est 10a+b ou ab

a est =1, ab=11,13,17 ou 19 ??????, pourquoi prendre ab? les centaines c'est b donc b ne peut être que 2,3,5,7, non?

ensuite ds le 2) ils disent: abcd=100(10a+b)+10c+d

d'ou 10c+d est égal à 0,24,48,72 ou 96

Mais je vois pas le rapport entre le reste et cd ?

et c'est le même raisonnement aprés

?

[Leau]

Euh, alors :

Soit n un nombre à 4 chiffres qu'on peut écrire abcd

a est le chiffre des milliers OU des dizaines de centaines

b est le chiffre des centaines

c est le chiffre des dizaines

d est le chiffre des unités

Tous les chiffres a, b, c, d sont des chiffres entiers compris entre 0 et 9 à priori, sachant que vu les contraintes ensuite énoncées, pour certains chiffres parmi a,b, c,d cette plage va se rétrécir..

1) le nbr des centaines de n est un nbr premier <20

on a donc ab < 20

C'est une inégalité stricte donc a = 1 (pas 0 car autrement on n'a plus 4 chiffres, pas 2 car alors ab ne vérifie pas l'égalité demandée)

Ca peut aussi s'écrire 10a+b < 20, car a est le chiffre des milliers ou des dizaines de centaines

à ce moment là b peut être tout parmi 0 à 9, mais le nombre ab doit être premier...

Alors b = 1 ou 3 ou 7 ou 9 (11, 13, 17, 19 nombres premiers)

2) le reste de la division de n /100 est un multiple de 24

Pour simplifier, on décompose n en décimal (facteurs de 10)

n = abcd = 1000a +100b + 10c +d

n = 100 (10a+b) + 10c + d = 100 (10a+b) + (10c + d)

Si le reste de la division de n par 100 est multiple de 24

Sion écrit une division euclidienne (avec un reste ), on a :

n = a*q +r

ici a est 100, et le reste de la division euclidienne de n par 100 c'est donc (10c+d)

donc 10c+d vaut soit 0, 24, 48, 72, 96 (pas plus car après c'est plus que les dizaines et c ets le chiffre des dizaines)

3) le reste de la divission de n/9 est >6

Le reste de la division par 9 d'un nombre entier, est égal au reste dans la division par 9 de la somme de ses chiffres

Donc (a+b+c+d)> 9x + 6

4) le reste de la division de n /5 est =1

on a n = 1000a +100b + 10c +d

on peut aussi l'écrire n = 10 (100a +10b +c) +d

ou encore n = 5 x (2(100a+10b+c))+d

On ne sait pas si d est divisible par 5 ou non, alors on cherche tous les cas possible pour que le reste final soit 1.

Alors d = 1 ou d = 6 = 5+1

Au 2), on a vu que d = 0, 4, 8, 2 ou 6 vu les solutions trouvées pour 10c+d multiple de 24

On en éduit donc que d =1 est impossible et donc que d = 6

Par conséquence c = 9

Au final, on a :

a=1

b = 1, 3, 7, ou 9

c = 9

d = 6

Il faut voir quelle sont les combinaisons qui vérifient le 3)

Rq :

c=9 donc pas besoin de le compter dans la division

Je remets la règle contenue dans le bouquin du CNED

Pour calculer le reste dans la division par 9 d'un nombre n, on calcule la somme de ses chiffres distincts de 9, puis la somme des chiffre distincts de 9 du nombre obtenu....... jusqu'à ce que la somme calculée soit inférieure ou égale à 9. Le nombre obtenu à la fin du processus et n ont le même reste dans la division par 9.

Si n = 1196, alors on doit avoir (1+1+6) > 9x + 6 -> Ok pour x=0, on obtient 8 > 6

Si n = 1396, alors (1+3+6)> 9x+ 6, ce n'est pas le cas car x =1 et le reste vaut 1

Si n = 1796 alors (1+7+6) > 9x + 6, alors x = 1 et le reste vaut 5 donc pas possible

Si n = 1996 alors (1+6) > 9x+6 valable pour x = 0 et le reste égal à 7

Les deux solutions répondant à tous les critères sont donc 1196 et 1996.

Aies-je juste ?

[Dominique]

le prix initial d'un article, successivement augmenté puis diminué d'un meme pourcentage, a finalemenet baissé de 6,25 %

determiner le pourcentage correspondant à cette augmentation ou diminution du prix de l'article

Une proposition de solution :

Soit t% le pourcentage cherché (avec t > 0).

Le prix initial a été d'abord multiplié par (1 + t/100) puis il a été ensuite multiplié par (1 - t/100). Il a donc été multiplié au total par (1 + t/100) × (1 - t/100) donc par 1 - (t/100)² .

(car (a +b ) × (a - b) = a² - b²)

Or on sait que ce prix initial a été multiplié au total par (1 - 6,25/100).

On en déduit que (t/100)² = 6,25/100.

Donc t² = (6,25 x 100²)/100 = 625.

Donc t = = 25 (car t >0).

Le pourcentage cherché vaut 25 %.

[Dominique]

pourquoi: le nre de centaines de n est 10a+b ou ab [...]pourquoi prendre ab? les centaines c'est b donc b ne peut être que 2,3,5,7, non?

ensuite ds le 2) ils disent: abcd=100(10a+b)+10c+d

d'ou 10c+d est égal à 0,24,48,72 ou 96

Mais je vois pas le rapport entre le reste et cd ?

[florenceloq]

le prix initial d'un article, successivement augmenté puis diminué d'un meme pourcentage, a finalemenet baissé de 6,25 %

determiner le pourcentage correspondant à cette augmentation ou diminution du prix de l'article

Une proposition de solution :

Soit t% le pourcentage cherché (avec t > 0).

Le prix initial a été d'abord multiplié par (1 + t/100) puis il a été ensuite multiplié par (1 - t/100). Il a donc été multiplié au total par (1 + t/100) × (1 - t/100) donc par 1 - (t/100)² .

(car (a +b ) × (a - b) = a² - b²)

Or on sait que ce prix initial a été multiplié au total par (1 - 6,25/100).

On en déduit que (t/100)² = 6,25/100.

Donc t² = (6,25 x 100²)/100 = 625.

Donc t = = 25 (car t >0).

Le pourcentage cherché vaut 25 %.

Merci pour ces explications Dominique, car je n'arrivais pas à suivre le raisonnement de Leau... là, c'est plus claire.

[florenceloq]

3) le reste de la divission de n/9 est >6

Le reste de la division par 9 d'un nombre entier, est égal au reste dans la division par 9 de la somme de ses chiffres

Donc (a+b+c+d)> 9x + 6

Bon, le reste j'ai compris, je suis d'accord, même si je ne rappelais plus de cette propriété de la division euclidienne par 9 que j'ai revu il n'y a pourtant pas longtemps... Bref... mais le 2/ est loin d'être clair pour moi.

C'est quoi ce (a+b+c+d)> 9x + 6 ?? ou x=abcd si j'ai bien suivi

Merci

[Dominique]

Le reste de la division par 9 d'un nombre entier, est égal au reste dans la division par 9 de la somme de ses chiffres

Donc (a+b+c+d)> 9x + 6

C'est quoi ce (a+b+c+d)> 9x + 6 ?? ou x=abcd si j'ai bien suivi

Non, ce que Leau appelle x c'est le quotient de la division de a + b + c + d par 9.

On a, par définition de la division euclidienne : a + b + c + d = 9x + r et r < 9 (x étant le quotient et r le reste dans la division de a + b + c + d par 9).

L'énoncé permet d'affirmer qu'en fait on a 6 < r < 9.

[Leau]

Merci pour ces explications Dominique, car je n'arrivais pas à suivre le raisonnement de Leau... là, c'est plus claire.

Le raissonnement est pourtant exactement le même si tu regardes bien, peut-être un peu plus de "blabla" autour vu que maman de zoé semblait nécessiter de bien décrire toutes les étapes, mais bon, l'essentiel est que tu aies compris :P

[Leau]

Le reste de la division par 9 d'un nombre entier, est égal au reste dans la division par 9 de la somme de ses chiffres

Donc (a+b+c+d)> 9x + 6

C'est quoi ce (a+b+c+d)> 9x + 6 ?? ou x=abcd si j'ai bien suivi

Non, ce que Leau appelle x c'est le quotient de la division de a + b + c + d par 9.

On a, par définition de la division euclidienne : a + b + c + d = 9x + r et r < 9 (x étant le quotient et r le reste dans la division de a + b + c + d par 9).

L'énoncé permet d'affirmer qu'en fait on a 6 < r < 9.

Exactement Dominique, merci d'avoir précisé