un autre problème sujet de lyon 1994

22 décembre 2006

Bonjour j'ai encore des soucis avec un exercice

On veut construire des maisons en carton constituées de 5 carrés et de 4 triangles équilatéraux collés bord à bord, ayant pour côté commun a.

On dispose pour cela de 5254 feuilles de carton, chacune pouvant être découpée en quatre carrés ou en huit triangles équilatéraux de côté a.

a) En sachant que toutes les feuilles de carton ont été utilisées et qu'il reste 2 carrés, calculez le nombre n de maisons qui ont été faites.

Si besoin est, on pourra noter p le nombre de feuilles ayant servi à faire des carrés et q celui des feuilles découpées en triangle.

Merci pour votre aide et bonne fête à tous et à toutes. Moi j'ai commandé au Père Noël le concours j'espère qu'il aura reçu ma lettre à temps.

22 décembre 2006

Tout d'abord, on peut chercher le nombre de pages minimum nécessaires pour obtenir un nombre entier de maisons:

* pour les triangles, c'est simple: 1 pages fournit ce qu'il faut pour 2 maisons

* pour les carrés, le plus petit commun multiple est 5*4=20. On a besoin de 5 feuilles pour obtenir l'équivalent en carrés pour 4 maisons.

Or 2 feuilles de triangles donnent ce qui faut pour 4 maisons.

Donc avec 7 feuilles, on obtient exactement 4 maisons.

En effectuant la division euclidienne, on a:

5254=750*7+4

donc 750*4=3000 maisons et il reste 4 pages.

On a besoin d'1 page pour les triangles, ce qui fournit les bases de 2 maisons.

Et si on utilise, les 3 autres pages pour les carrées, on a ce qu'il faut pour 2 maisons et il reste 2 carrés (3 pages = 12 carrés = 5*2+2).

En conclusion, avec 5254 pages, on peux faire 3000+2=3002 maisons. p=750*5+3=3753 pages ont servi à faire des carrés et q=750*2+1=1501 à des traingles.

23 décembre 2006

merci d'avoir répondu mais je ne comprends pas comment tu arrives à trouver pour une page fournit il faut 2 maisons.

Ensuite tu fais 5*4=20. Pourquoi ? comment tu sais que cela correspond à 5 feuilles et 4 maisons. :wub:

Merci et bonne fête

23 décembre 2006

On dispose pour cela de 5254 feuilles de carton, chacune pouvant être découpée en quatre carrés ou en huit triangles équilatéraux de côté a.

Avec les feuilles, tu fais donc soit des triangles équilatéraux, soit des carrés.

Donc une feuille peut fournir 8 triangles équilatéraux.

On veut construire des maisons en carton constituées de 5 carrés et de 4 triangles équilatéraux collés bord à bord, ayant pour côté commun a.

Donc pour une maison tu as besoin de 4 triangles équilatéraux.

Donc avec une feuille, tu as 8=4*2 triangles, c'est à dire ce qu'il faut pour 2 maisons en triangles.

Pour les carrés, 1 feuille -> 4 carrés (pas assez pour une maison, vu que tu as besoin de 5 carrés)

2 feuilles -> 2*4 = 8 carrés = 5+3 (1 maisons et il reste 3 carrés)

3 feuilles -> 3*4 = 12 carrés = 5*2+2 (2 maisons et il reste 2 carrés)

4 feuilles -> 4*4 = 16 carrés = 5*3 +1 (3 maisons et il reste 1 carré)

5 feuilles -> 5*4 = 20 carrés = 5*4 (4 maisons).

Donc avec 5 feuilles, tu as ce qui faut en carré pour construire 4 maisons.

Or comme la maison est constituée de triangle et de carré, tu as aussi besoin de 2 feuilles pour les triangles de ta maison.

7 feuilles est donc le plus petit nombre de feuilles nécessaires pour faire des maisons sans qu'il y ait de chutes.

J'espère que c'est plus clair et passe de bonne fête aussi.

23 décembre 2006

merci c'est plus clair. Est-ce que tu sais résoudre ce problème avec la méthode algébrique ?, car souvent dans certains exercices on nous demande de résoudre un problème de deux manières.

MERCI BEAUCOUP

27 décembre 2006

Avec la méthode algébrique, on a ça :

Puisque toutes les feuilles sont utilisées pour couper des triangles et des carrés, on a : p + q = 5254

Une feuille donne 8 triangles donc, avec q feuilles, on a un total de 8q triangles. Ces 8q triangles sont tous utilisés pour construire n maisons et il faut 4 triangles par maisons donc on a : 8q = 4n

De même, une feuille donne 4 carrés donc on a un total de 4p carrés avec p feuilles. Mais 2 carrés ne sont pas utilisés, donc on utilise 4p - 2 carrés pour construire n maisons. Et il faut 5 carrés par maison donc on a : 4p - 2 = 5n

On a donc un système de 3 équations à 3 inconnues. En le résolvant on trouve : q = 1501 ; p = 3753 et n = 3002

8 janvier 2007

Bonjour et BONNE ANNEE 2007 A TOUS

Laurence62 peut tu me développer l'équation à 3 inconnues car je ne sais pas la faire. Merci

8 janvier 2007

Avec ce que j'ai écrit au-dessus, on se retrouve avec 3 équations à 3 inconnues : $mimetex.cgi?\left{p+q=5254 \\ 8q=4n \\ 4$

Dans la 2ème équation on divise par 4 : $mimetex.cgi?\left{p+q=5254 \\ 2q=n \\ 4p$ On remplace n par 2q dans la 3ème équation : $mimetex.cgi?\left{p+q=5254 \\ 2q=n \\ 4p$ On écrit, dans la 1ère équation, p en fonction de q et on le remplace dans la 3ème équation : $mimetex.cgi?\left{p=5254-q \\ 2q=n \\ 4($ On a donc : $mimetex.cgi?\left{p=5254-q \\ 2q=n \\ 21$ ce qui nous donne $mimetex.cgi?\left{p=5254-q \\ 2q=n \\ 21$ On obtient donc q : $mimetex.cgi?\left{p=5254-q \\ 2q=n \\ q=$ et on remplace q par 1501 dans les 2 autres équations. On a donc : $mimetex.cgi?\left{p=3753 \\ n=3002 \\ q=$