Probleme sur les transformations du plan

[DANSE]

pourriez vous m aider à résoudre les 2 problèmes suivants

on considère un triangle quelconque ABC.On construit à l extérieur de celui ci les careeés BGFC ET ABDE puis les milieux I,J,K,L de [AD],[DG],[GC],[CA]

Montrer queAG=CD etque les droites (AG) et (CD) sont perpendiculaires, en déduire que IJKL EST UN CARRE

2éme exercice

On considère 2 triangles équilatéraux OAB ET OCD ET on appelle E LE POINT TEL QUE OBEC soit un paralllélogramme

Montrer que AED est un triangle équilatéral ( en utilisant une rotation)

merci

[DANSE]

pourriez vous m aider à résoudre les 2 problèmes suivants

on considère un triangle quelconque ABC.On construit à l extérieur de celui ci les careeés BGFC ET ABDE puis les milieux I,J,K,L de [AD],[DG],[GC],[CA]

Montrer queAG=CD etque les droites (AG) et (CD) sont perpendiculaires, en déduire que IJKL EST UN CARRE

2éme exercice

On considère 2 triangles équilatéraux OAB ET OCD ET on appelle E LE POINT TEL QUE OBEC soit un paralllélogramme

Montrer que AED est un triangle équilatéral ( en utilisant une rotation)

merci

personne pour m aider?

[°Vanille°]

Pour démontrer que AG= DC :

Si on considère la rotation de centre B et d'angle +90° :

- Cette rotation transforme A en D (car on sait d'après l'énoncé que ABCD est un carré, donc AB=BD et l'angle ABD = 90°)

- Cette rotation transforme G en C (car on sait d'après l'énoncé que BGCF est un carré, donc BC=BG et l'angle GBC = 90°)

Donc, par cette rotation, D est l'image du point A et C est l'image du point G. On en déduit que le segment DC est l'image du segment AG. Comme une rotation conserve les longueurs, on en conclut que DC = AG.

Pour démontrer que (AG) et (CD) sont perpendiculaires :

Je pense qu'il suffit de dire que quand une rotation d'angle 90° transforme un segment en un nouveau segment, l'angle d'intersection entre ces 2 segments est aussi de 90°, donc (AG) et (CD) sont perpendiculaires ? (mais il y a sûrement une réelle démonstration à faire, même si c'est sans doute une propriété )

Pour démontrer que IJKL est un carré :

Appliquons le théorème des droites des milieux dans le triangle DAG :

J est le milieu de DG et I est le milieu de DA, donc par ce théorème, (JI) est parallèle à (GA) et JI = 1/2 de GA

Donc (JI) est perpendiculaire à (DC) (car (DC) perpendiculaire à (AG), on vient de le démontrer)

De même pour le triangle GDC : on obtient (JK) parallèle à (DC) et JK = 1/2 de DC = 1/2 GA (on a démontré que DC = GA)

Donc pour l'instant, IJ = JK (=1/2 de GA) et (IJ) et (JK) sont perpendiculaires (car (IJ) perpendicaulaire à (DC) et (JK) parallèle à( DC))...

On recommence donc la même chose dans le triangle ACD :

On obtient (IL) est parallèle à (DC) et IL = 1/2 de DC= 1/2 de GA = IJ = JK , et (I)L perpendiculaire à (IJ) ( car (IJ )perpendiculaire à (DC) et (IL) parallèle à (DC)), donc pour l'instant : IJ =JK=IL , et (JK) et (IL) perpendiculaires à (IJ).

On recommence dans le triangle AGC :

On obtient (KL) parallèle à (AG) (donc perpendiculaire à (DC)) et KL = 1/2 de AG = IJ =JK =KL et aussi (KL) perpendiculaire à (IL )(car (KL) parallèle à (AG) et (IL) parallèle à (DC) donc perpendiculaire à (AG))

Donc finalement : IJ=JK=KL=IL et ce quadrilatère comporte plusieurs 4 angles droits (un seul aurait suffit), donc c'est bien un carré.

[cecilou80m]

Pour montrer que AG=CD.

DB=AB puisque ABDE est un carré par définition.

BC=BG puisque BCFG est un carré par construction.

angle (DBC)= angle (DBA)+angle(ABC)

= angle (GBC)+ angle (ABC) puisque angle(DBA)=angle (GBC)=90°

=angle (ABG).

Les triangles ABG et DBC sont donc isomorphes.

En conclusion: AG=CD

etque les droites (AG) et (CD) sont perpendiculaires

Comme [bD] se transorme en [bA] et [bC] en [bG], alors la transformation qui transforme le triangle CDC et ABG est la rotation de centre B et d'angle 90°.

En conclusion [DC] se transforme en [AG] par cette rotation.

En conclusion les droites (AG) et (CD) sont perpendiculaires.

en déduire que IJKL EST UN CARRE

Théorème des milieux appliqué au triangle ADG et AGC:

IJ=KL=1/2AC

Théorème des milieux appliqué au triangle ADC et GDC:

IL=KJ=1/2DC

Or d'après la question précédante, DC=AG

donc IJ=KL=IL=KJ

On en déduit que IJKL est un losange.

De plus, d'après le théorème des milieux appliqué à ces triangles, on a:

(IJ)//(AG)//(KL)

(IL)//(DC)//(JK)

or d'après la question précédente, (DC)perpendiculaire à (AG).

donc comme lorsqu'on a 2 parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, on en déduit (IJ)perpendiculaire à(IL).

Conclusion le losange IJKL qui a un angle droit est un carré.

[°Vanille°]

Cécilou est beaucoup plus claire et concise que moi. :P

[DANSE]

Cécilou est beaucoup plus claire et concise que moi. :P

merci bien si quelqu un a encorte un peu de tps pour répondre au 2éme exercice ce serait super sympa

BON REVEILLON

[DANSE]

DUR DUR

[DANSE]

si quelqu un a un petit moment pour m aider sur le 2éme exercice malgré les conséquences du réveillon...

merci

[°Vanille°]

Je voudrais bien , mais je n'y arrive point... Es-tu sûre qu'il s'agisse d'une rotation et non pas d'une homotétie associée à une translation ou autre chose?

Chapeau à celui qui trouve...

[DANSE]

Merci tout de meme pour ton aide

[miss-thales]

Merci tout de meme pour ton aide

Bonjour,

Un triangle équilatéral à trois angles de 60°.

Donc une piste: AED est équilatéral si et seulment si :

A est l'image de E ( ou E image de A) par la rotation R de centre D et d'angle 60°

ou E est l'image de D (ou D image de E ) par la rotation R de centre A et d'angle 60°

ou D est l'image de A (ou A image de D) par la rotation R de centre E et d'angle 60°

Donc par exemple si tu montres que DA=DE et angle ADE=60° , tu as fini.

VOILI VOILOU

[Dominique]

B est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle 60° (car OAB est un triangle équilatéral) et E est l'image de B dans la translation de vecteur (car OBEC est un parallélogramme).

Donc on passe de A à E en effectuant la rotation de centre O et d'angle 60° suivie de la translation de vecteur .

Il est possible de démontrer que la rotation de centre O et d'angle 60° suivie de la translation de vecteur est la rotation de centre D et d'angle 60° ce qui permet d'affirmer immédiatement que DAE est un triangle équilatéral.

Le problème c'est qu'il n'est pas évident de démontrer, avec les connaissances exigibles pour le CRPE, que la rotation de centre O et d'angle 60° suivie de la translation de vecteur est la rotation de centre D et d'angle 60°.