exo sur les nombres

[maricat31]

je viens de faire cet exercice et j'avoue que pour la question 5 je seche completement

si une âme charitable veux bien m'expliquer?

le sujet est:

étant donné un entier n>= 10, on appelle associé de n, l'entier ibtenu en intercalant un 0

entre le chiffre des dizaines et celui des unités du nombre n, par exemple,

l'associé de 542631 est 5426301.

1) quel est l'associé de 768492?

2) l'entier 2005 est-il l'associé d'un nombre? si oui lequel?

3)a) démontrer la propriété suivante:si n est un entier divisible par 9, alors sont associé l'est également

b) formuler la réciproque de la propriété précédente

c) cette réciproque est-elle vraie, justifier?

4) énoncer un condition nécessaire et suffisante portant sur l'entier n pour que son associé

soit divisible par 4 , la démontrer.

5)demontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

[michmich60]

désolée j'ai essayé mais je n'y arrive pas non plus j'ai essayé avec des exemples ca marche mais je ne sais pas comment l'expliquer! bon exo maricat31. ah oui aussi si tu pouvais m'expliquer tareponse à la quetsion 3c! merci

[KRISTALE]

je viens de faire cet exercice et j'avoue que pour la question 5 je seche completement

si une âme charitable veux bien m'expliquer?

le sujet est:

étant donné un entier n>= 10, on appelle associé de n, l'entier ibtenu en intercalant un 0

entre le chiffre des dizaines et celui des unités du nombre n, par exemple,

l'associé de 542631 est 5426301.

1) quel est l'associé de 768492?

2) l'entier 2005 est-il l'associé d'un nombre? si oui lequel?

3)a) démontrer la propriété suivante:si n est un entier divisible par 9, alors sont associé l'est également

b) formuler la réciproque de la propriété précédente

c) cette réciproque est-elle vraie, justifier?

4) énoncer un condition nécessaire et suffisante portant sur l'entier n pour que son associé

soit divisible par 4 , la démontrer.

5)demontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

je vais tenter :

1) l'associé de 378492 : 3784902

2) l'associé de 2005 : 20005

3) pour qu'un entier soit divisible par 9 la somme de ses chiffres doit être divisible par 9 donc si n est divisible par 9 ,n + 0 sera toujours divisible par 9

je reprends plus tard !!

[Dominique]

étant donné un entier n>= 10, on appelle associé de n, l'entier ibtenu en intercalant un 0

entre le chiffre des dizaines et celui des unités du nombre n, par exemple,

l'associé de 542631 est 5426301.

1) quel est l'associé de 768492?

L'associé de 768 492 est le nombre 7 684 902.

2) l'entier 2005 est-il l'associé d'un nombre? si oui lequel?

2005 est l'associé de 205.

3)a) démontrer la propriété suivante : si n est un entier divisible par 9, alors sont associé l'est également

Remarque préalable et rappel :

- la somme des chiffres d'un entier n est, de façon évidente, égale à la somme des chiffres de son nombre associé.

- un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9

Si n est divisible par 9, alors la somme des chiffres de n est divisible par 9. On en déduit que la somme des chiffres de son associé est divisible par 9 et donc que cet associé est divisible par 9.

b) formuler la réciproque de la propriété précédente

Si p est le nombre associé d'un nombre n et si p est divisible par 9 alors n est divisible par 9.

c) cette réciproque est-elle vraie, justifier?

Cette réciproque est vraie.

En effet :

Si p est le nombre associé d'un nombre n et si p est divisible par 9, alors la somme des chiffres de p est divisible par 9. On en déduit que la somme des chiffres de n est divisible par 9 et donc que n est divisible par 9.

4) énoncer un condition nécessaire et suffisante portant sur l'entier n pour que son associé

soit divisible par 4 , la démontrer.

Rappel préalable : un nombre est divisible par 4 si et seulement si ses deux derniers chiffres représentent un nombre divisible par 4.

Condition : l'associé d'un nombre n est divisible par 4 si et seulement si le chiffre des unités du nombre n est divisible par 4 (autrement dit, est égal à 0, 4 ou 8).

Explication:

Si on appelle u le chiffre des unités du nombre n, les deux derniers chiffres de son nombre associé p sont les chiffres 0 et u qui représentent donc le nombre u. Il suffit donc d'appliquer le critère de divisibilité par 4 au nombre p pour trouver la condition énoncée.

5) Démontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

Rappel préalable : le reste de la division d'un entier n par 5 est égal au reste de la division euclidienne de son dernier chiffre par 5.

Comme les chiffres des unités d'un nombre n et de son associé sont identiques, on peut en déduire que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.

[celine1405]

Je crois que j'ai trouvé un élément de réponse pour la question 5.

En fait, il faut partir de l'égalité caractéristique de la division euclidienne, à savoir: dividende=diviseur * quotient + reste

(avec le reste strictement inferieur au diviseur).

Pour N (on va l'écrire sous sa forme canonique, soit N=cdu)

100c + 10d + u=5q + r

r= 100c + 10d + u - 5q

r= 5(20c + 2d -q)+u (donc ça c'est le reste de la division de N par 5)

Pour l'associé de N on fait pareil sauf que l'écriture canonique va changer vu qu'on a 0 pour chiffre des dizaines:

1000m + 100c + u= 5q + r

r= 1000m + 100c + u - 5q

r= 5(200m + 20c - q)+ u (reste de la division de l'associé de N par 5)

Et en fait, ces deux expressions du reste valent la même chose car on a enlevé la valeur des dizaine en mettant un 0 et ça a rajouté un chiffre de plus dans le nombre en multipliant par 10 le nombre de centaines de N.

Du coup ça s'équilibre et il y a égalité entre ces deux expressions.

C'est trés mal expliqué je sais, vous m'en excuserez Mais remplacez les lettres par de vraies valeurs et vous comprendrez mieux peut-être.

[celine1405]

Je vois que Dominique a donné un élément de réponse beaucoup plus rapide et fiable

Merci beaucoup, je ne connaissais pas du tout cette propriété

[Puck]

Conseil : démarre avec ce que tu sais et n'utilise pas des propriétés que tu ne connais pas.

Pour cela, traduis l'énoncé en formules. Si on ajoute un 0 entre le chiffre des dizaines et le chiffre des unités, traduis les nombres en fonction des dizaines et des unités : n = d x 10 + u où d est le nombre de dizaines et u le nombre d'unité

Si f(n) est le nombre associé à n : f(n) = d x 1OO + u

A partir de ces formules, essaye de résouder les exercices par toi-même.

Exemples :

f(n) divisible par 4 <=> il existe un nombre a tel que f(n) = 4 x a

la formule d'une division euclidienne par 5 est : n = q x 5 + r où q est le quotient et r le reste.

[celine1405]

C'est un peu ce que j'ai essayé de faire plus haut Mais est-ce que c'est juste ?

Quelqu'un de fortiche en maths pour valider ? :P

[maricat31]

merci beaucoup pour vos éclaircissements

pour la question 5, je ne connaissais pas la propriété , j'aurais utilisé la méthode à Céline je pense (mais j'y ai pas pensé )

bonne continuation à tous

[Dominique]

la formule d'une division euclidienne par 5 est : n = q x 5 + r où q est le quotient et r le reste.

Il n'y a pas une seule formule pour définir le quotient et le reste mais deux :

n = q × 5 + r et r < 5

(si on ne précise pas r < 5, on peut avoir n = q x 5 + r sans que q et r soient le quotient et le reste de la division de n par 5).

[Dominique]

Pour N (on va l'écrire sous sa forme canonique, soit N=cdu)

Remarque : l'énoncé ne précise par que N est un nombre a trois chiffres.

[Puck]

la formule d'une division euclidienne par 5 est : n = q x 5 + r où q est le quotient et r le reste.

Il n'y a pas une seule formule pour définir le quotient et le reste mais deux :

n = q × 5 + r et r < 5

(si on ne précise pas r < 5, on peut avoir n = q x 5 + r sans que q et r soient le quotient et le reste de la division de n par 5).

Tu as raison, j'ai oublié de préciser que r < 5 est une condition sine qua none