exercice sur la divisibilité

[emmaiufmdouai]

Que l'on divise ce nombre n par 2,3,4,5,6,7,8,9,10, le reste est toujours le même:1!!

Pourtant n ne dépasse guére 2500. Quel est ce nombre?

merci pour vos réponses

[Puck]

Selon l'énoncé du problème, il existe un nombre entier q tel que n = q + 1 et avec q multiple de 5, 6, 7, 9 et 10

Or 10 = 2 x 5 ; 9 = 3 x 3 ; 6 = 2 x 3 ; 8 = 2x 2 x 2

Donc il existe un ou plusieurs entiers Y tel que q = 2x2x2 x 3 x 3 x 5 x 7 x Y

q = 2520 x Y

Or on sait que n ne dépasse guère 2500. Donc Y = 1

q = 2520

n = 2521

[Betsy]

Est-ce que 2521 n'est pas plus grand que 2500 ????

Pour ma part, je trouve 1261, après pas mal de tâtonnements et un tout petit peu de réflexion...

[Betsy]

Est-ce que 2521 n'est pas plus grand que 2500 ????

Pour ma part, je trouve 1261, après pas mal de tâtonnements et un tout petit peu de réflexion...

Et maintenant, juste avec de la réflexion :

PPCM(2;3;4;5;6;7;8;9;10)=2²x3²x5x7=1260

1260+1=1261

Le compte est bon !

[Puck]

[Et maintenant, juste avec de la réflexion :

PPCM(2;3;4;5;6;7;8;9;10)=2²x3²x5x7=1260

1260+1=1261

Le compte est bon !

Non, le compte est faux ! En effet, 1260 n'est pas divisible par 8. L'erreur est dans le calcul du PPCM.

Rappel : 8 = 2² x 2

Pourquoi 2521 convient-il ?

Parce que l'énoncé indique "ne dépasse guère 2500". Autrement dit : "Dépasse à peine 2500".

[Betsy]

Ah oui, j'ai zappé le 8...deux fois en plus... Oups

Cela dit, mon compte était quand même bon : 1260+1 ça bien bien 1261 ! :P

[miss-thales]

Selon l'énoncé du problème, il existe un nombre entier q tel que n = q + 1 et avec q multiple de 5, 6, 7, 9 et 10

Or 10 = 2 x 5 ; 9 = 3 x 3 ; 6 = 2 x 3 ; 8 = 2x 2 x 2

Donc il existe un ou plusieurs entiers Y tel que q = 2x2x2 x 3 x 3 x 5 x 7 x Y

q = 2520 x Y

Or on sait que n ne dépasse guère 2500. Donc Y = 1

q = 2520

n = 2521

Comme toi, après de nombreux tâtonnements , je trouve n-1=2520 donc n = 2521.

Je pense que cette valeur peut convenir puisque l'énoncé précise "n ne dépasse guère 2500 " sous-entendu "il peut le dépasser de très peu" .

Enfin rien n'est encore prouvé; J'aimerais bien voir à quoi ressemble le corrigé....

[Deirdre]

Moi je vois une autre solution :

le nombre 1.

Pour tous les nombres proposés on a : Quotient = 0, reste =1.

Si je peux me permettre un petit conseil, en maths il faut toujours penser aux cas "débiles", parce que même "débiles", il y a parfois des solutions toutes bêtes qui satisfont les restrictions.

Aussi, dans les exos où il faut trouver des nombres, 0, 1, 2 sont souvent à tester en priorité pour ne pas oublier des cas particuliers.

Modifié 29 mars 2007 par Deirdre

[Dominique]

Moi je vois une autre solution :

le nombre 1.

Mais on ne peut pas dire que 1 "ne dépasse guère 2500".

[Deirdre]

Mais 1 ne dépasse pas du tout.

Ce qui est une contrainte plus forte.

[missJUL]

En ce qui me concerne je trouve le même résultat que Puck

PPMC de 2;3;4;5;6;7;8;9;10 = 2(exp3)x3(exp2)x5x7=2520

Donc 2520 est le plus petit multiple commun de 2;3;4;5;6;7;8;9;10 (si multiple le reste sera de zéro)

Alors n=2520+1=2521 le reste sera toujours de 1

La contrainte est respectée 2521 dépasse guère 2500...

[Dominique]

Mais 1 ne dépasse pas du tout.

Ce qui est une contrainte plus forte.

L'expression "ne dépasse guère" est inhabituelle pour un énoncé de mathématiques mais, pour moi, " ne dépasser guère" c'est "être plus grand que" (mais "pas de beaucoup" ...).