démonstration en géométrie

[bridget]

Quelques petits points à éclaircir:

-propriété des ponits alignés sur la droite d'EULER

-quelques sont les propriétés des angles dans un cercle (angle inscrit, angle au centre?)

-comment calculer une corde?

-comment calculer un arc de cercle?

[cedrick]

Quelques petits points à éclaircir:

-propriété des ponits alignés sur la droite d'EULER

Je ne connaissais pas ce nom, droite d'Euler, j'ai trouvé l'info sur le site:

http://yann.lecacheux.free.fr/EulerD/Eulerd.html

Dans un triangle quelconque A,B,C l'orthocentre H (point de concours des hauteurs), le centre de gravité G (point de concours des médianes) et le point de concours des médiatrices O sont alignés sur une droite nommée la droite d'Euler.

A mon avis, savoir que ça s'appelle la droite d'Euler, c'est du détail.

-quelques sont les propriétés des angles dans un cercle (angle inscrit, angle au centre?)

L'angle au centre fait le double de l'angle inscrit.

-comment calculer une corde?

Ca utilise les propriétés de sinus/cosinus, pas au programme.

Si jamais on a à la calculer dans un exercice, le sujet nous proposera une procédure guidée.

-comment calculer un arc de cercle?

La longueur d'un arc de cercle: par rapport à l'angle.

Voici un moyen de s'en rappeler.

l'angle 2*Pi (cercle complet, ou 360 degrés centigrades) correspond la longueur 2*Pi*R (périmètre).

Pour un angle donné, il suffit de faire la règle de 3.

Ex: je prend Pi/3 (180/3=60 degrés), la longueur d'arc correspondante est: Pi/3 * ((2*Pi*R) / (2*Pi))= (Pi*R)/3

Ou bien, si on prend l'angle en degrés: la longueur vaut 60 * ((2*Pi*R)/360))= (Pi*R)/3

On trouve le même résultat avec les deux unités.

[Dominique]

En complément à la réponse de cedrick :

-propriété des ponits alignés sur la droite d'EULER

Voir : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/triangle.htm (dernière figure en bas à droite).

Remarque : ne figure pas, pour moi, parmi les compétences exigibles pour le CRPE.

-quelques sont les propriétés des angles dans un cercle (angle inscrit, angle au centre?)

Voir : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/anglesins.htm

-comment calculer une corde?

Voir réponse de cedrick.

Remarque : on peut démontrer que si l'angle au centre correspondant mesure a° et si le rayon du cercle est égal à R, alors la longueur de la corde est égale à 2 × R × sin(a°/2) mais, comme le dit cedrick, la trigonométrie ne figure pas explicitement eu programme du CRPE et donc, si on doit calculer la longueur d'une corde, il devra y avoir moyen d'y parvenir par une autre méthode).

-comment calculer un arc de cercle?

Voir réponse de cedrick.

Si l'angle au centre correspondant à l'arc de cercle est égal à a°, la longueur de cet arc de cercle est :

[asgraveleau]

Si l'angle au centre correspondant à l'arc de cercle est égal à a°, la longueur de cet arc de cercle est :

Et ça c'est au programme ?

[Dominique]

Si l'angle au centre correspondant à l'arc de cercle est égal à a°, la longueur de cet arc de cercle est :

Et ça c'est au programme ?

Oui car cette formule exprime simplement le fait que la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre correspondant (voir ce que dit cedrick qui parle de règle de trois) et car on sait qu'à un angle de 180° correspond un arc de longueur .

Remarque : l'aire d'un secteur angulaire est également proportionnelle à l'angle au centre correspondant ce qui donne comme formule pour l'aire d'un secteur angulaire correspondant à un angle au centre de a° :

(il suffit ce coup-ci de savoir qu'un angle de 360° correspond à une aire égale à ).

Il faut savoir retrouver ces deux formules.

[asgraveleau]

Avec ton explication je me rends compte que ce n'est pas si compliqué ! Merci.