pb algebre

[asop]

l'âge d'un enfant sera ds 3 ans un carré parfait, il y a trois ans son age etait la racine carrée de ce meme carré.

Quel age a t il?!

indice : il est tout d'abord demandé de developper l'expression algebrique suivante : (x-1)(x-6)

(Merci d'expliciter la réponse svp)

[piou]

Hello,

désolé j'ai pas d'explications mathématiques mais ca marche s'il a 6 ans (il aura 9 ans et il avait 3 ans).

je continue de chercher une explication logique.

[Aquacrea]

l'âge d'un enfant sera ds 3 ans un carré parfait, il y a trois ans son age etait la racine carrée de ce meme carré.

Quel age a t il?!

indice : il est tout d'abord demandé de developper l'expression algebrique suivante : (x-1)(x-6)

On a x² - 6x - x + 6, soit x² - 7x + 6 (je ne sais que faire de cette égalité <_< )

Mais, moi j'aurais d'abord cherché les carrés parfaits comme ils disent avec les racines correspondantes.

0²=0;1²=1;2²=4;3²=9;4²=16;5²=25;6²=36;7²=49;8²=64;9²=81

Et puis ensuite, dire que entre le carré et la racine, on a une valeur égale à 6. On recherche alors une différence entre le carré et sa racine égale à 6.

Ici, on a 3²=9.

9-3 = 6

6-3=3

Donc l'enfant a 6 ans, dans trois ans, il aura 9 ans et il y a trois ans, il avait 3 ans (qui est bien la racine de 9 carré parfait).

Ma procédure n'est pas la procédure experte attendue, je pense, mais je trouve quand même le résultat.

Enfin, ceci dit, une solution experte me plairait beaucoup...

(Merci d'expliciter la réponse svp)

[Betsy]

Alors je ne vois pas le rapport avec l'indice, mais moi j'ai fait comme ça :

Soit a l'âge de l'enfant

a+3=n²

a-3=n

donc a=n+3

on remplace dans la première équation :

n+3+3=n²

n+6=n²

6=n²-n

Or 6=6 x 1 ou 6=3 x 2

2=3-1

donc n=3

3²=9

dans trois ans, il aura 9 ans

9-3=6

il a donc 6 ans

Vérification :

6-3=3

il y a trois ans, il avait trois ans, et 3²=9 donc ça marche.

[asop]

aaaaaaaah! je crois que je viens de trouver !

on a:

x-3=a

donc (x-3)²=a²

et l'égalité suivante

x+3=a²

donc (x-3)²=(x+3)

donc (x-3)²-(x-3) = 0

donc x²-6x+9-x-3=0

soit x²-7x+6=0 à résoudre

on sait que ça se transforme en (x-6)(x-1), et comme ça doit etre egal à 0, alors soit x=1, impossible car sinon valeur x-3 négative, soit x=6 et là ça marche.

Vous validez?

[Laurence.Piou]

L'expression à développer est utilisée si on résoud (ou résout ?) ce problème algébriquement. Mais je ne suis pas certaine de réussir à vous expliquer mon raisonnement

Soit x l'âge actuel de l'enfant

l'âge d'un enfant sera ds 3 ans un carré parfait :

donc 1ère équation : x+3=y²

(dans 3 ans, l'enfant sera âgé de x+3 ; et un carré parfait, c'est y² avec y un entier naturel)

il y a trois ans son age etait la racine carrée de ce meme carré :

donc 2ème équation : x-3=y

(il y a 3 ans, l'enfant était âgé de x-3 ; et la racine carrée du carré parfait, c'est y)

Pour résoudre ça, je mets la 2ème équation au carré :

(x-3)²=y²

x²-6x+9=y²

Je remplace y² dans la 1ère équation :

x+3=x²-6x+9

x²-7x+6=0

Or (x-1)(x-6)=x²-7x+6

Donc (x-1)(x-6)=0

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul

Donc soit x=1 soit x=6

x=1 est impossible car il y a 3 ans, l'enfant n'était pas né.

Donc l'enfant est âgé de 6 ans.

Vérification :

dans 3 ans, il aura 9 ans et 9 est bien un carré parfait.

et il y a 3 ans, il avait 3 ans et 3 est bien la racine carrée de 9.

[béber]

l'âge d'un enfant sera ds 3 ans un carré parfait, il y a trois ans son age etait la racine carrée de ce meme carré.

Quel age a t il?!

indice : il est tout d'abord demandé de developper l'expression algebrique suivante : (x-1)(x-6)

On a x² - 6x - x + 6, soit x² - 7x + 6 (je ne sais que faire de cette égalité <_< )

Mais, moi j'aurais d'abord cherché les carrés parfaits comme ils disent avec les racines correspondantes.

0²=0;1²=1;2²=4;3²=9;4²=16;5²=25;6²=36;7²=49;8²=64;9²=81

Et puis ensuite, dire que entre le carré et la racine, on a une valeur égale à 6. On recherche alors une différence entre le carré et sa racine égale à 6.

Ici, on a 3²=9.

9-3 = 6

6-3=3

Donc l'enfant a 6 ans, dans trois ans, il aura 9 ans et il y a trois ans, il avait 3 ans (qui est bien la racine de 9 carré parfait).

Ma procédure n'est pas la procédure experte attendue, je pense, mais je trouve quand même le résultat.

Enfin, ceci dit, une solution experte me plairait beaucoup...

(Merci d'expliciter la réponse svp)

En fait quand on te donne une équation du type (a (+/-) x)*(b (+/-) x) on veut que tu développes et que tu tombes sur une équation du type :

ax² (+/-) bx (+/-) c

Et ça c’est une équation du second degré, donc ça doit être systématique, tu dois chercher les racines réelles.

Exemple avec ton pb :

(x-1)*(x-6)

=x²-6x-x+6

=x²-7x+6

∆=b²-4*a*c

=(-7)²-4*1*6

=25

∆>0 donc 2 solutions possibles

x1=(-b-√∆)/(2a)

=(-(-7)-√25)/(2*1)

=1

x2=(-b+√∆)/(2a)

=(-(-7)+√25)/(2*1)

=6

les racines réelles sont donc 1 et 6

après tu regardes laquelle de ces solutions est impossible : c’est forcément un (car trois ans avant il n'était pas né )

d’où 6 est la solution du problème

Le but de cette exercice est de voir si tu sais reconnaître une équation du second degrés et si tu sais t’en servir.

Mais ton raisonnement est juste aussi, mais pas très rapide si tu as plusieurs ex. de ce type

[Dominique]

Exemple de rédaction attendue :

1°) Remarque préalable :

(x - 1)(x - 6) = x² -6x -x +6 = x² - 7x + 6

2°) Résolution du problème posé :

Soit x l'âge de l'enfant.

Les informations de l'énoncé peuvent être traduites en disant qu'il existe un entier n supérieur ou égal à 0 tel que :

x - 3 = n

et

x + 3 = n²

On en déduit qu'on doit chercher x tel que x + 3 = (x - 3)² donc tel que x + 3 = x² - 6x +9 donc tel que x² - 7x +6 = 0

En utilisant la remarque préalable, on est ramené à chercher x tel que (x - 1)(x - 6) = 0 donc tel que x - 1 = 0 ou x - 1 = 6.

On trouve donc a priori deux solutions : x = 1 ou x = 6.

Mais la solution x = 1 est à rejeter puisque, d'après l'énoncé, x est au moins égal à 3.

Conclusion : l'enfant a 6 ans.

Remarque : c'est parce que les formules permettant de résoudre l'équation générale du second degré ax² + bx + c = 0 ne sont pas explicitement au programme du CRPE que l'énoncé donne comme indication de développer dans un premier temps l'expression (x - 1)(x - 6).