Kikounette04 Posté(e) 21 avril 2007 Posté(e) 21 avril 2007 Je n'arrive pas à résoudre ce problème : On dit qu'un entier naturel formé d'au moins 2 chiffres est complet si tous les chiffres qui le composent sont différents. 1) Dans cette question, les nombres considérés sont des entiers naturels a) Combien ya-t-il d'entiers complets à 2 chiffres? b) Combien ya-t-il d'entiers complets à 10 chiffres? c) Combien ya-t-il d'entiers complets à 11 chiffres? 2) Dans cette question, les nombres considérés sont des entiers naturels complets à trois chiffres. a) Déterminer les entiers complets à 3 chiffres dt la somme des chiffres est 5. b) Déterminer les entiers complets à 3 chiffres divisibles par 90. 3) Dans cette question, les nombres considérés sont des entiers naturels complets à dix chiffres. a) Quel est le plus petit de tous ces nombres? b) Montrer que la somme de tous ces entiers complets est divisible par 90. Voilà, pas facile pour moi de transposer entre nombre à 2 chiffres et nombre à 10 chiffres Merci de m'aider please!!!!
pampa Posté(e) 21 avril 2007 Posté(e) 21 avril 2007 1/ a/ nombre a deux chiffres, le premier peut etre n'importe quel chiffre sauf 0 soit 9 possibilites le deuxieme peut etre n'importe quel chiffre (y comprit 0) sauf le premier, soit 9 possibilites 9*9=81 solutions b/nombre a 10 chiffres, idem a/ et suite le troisieme peut etre n'importe quel chiffre sauf les deux premiers, soit 8 possibilites le quatrieme ........................................................troi s premiers, soit 7 possibilites etc.... 9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3265920 solutions c/0 solution of course il n'y a que 10 chiffres (avec le zero) 2/ a/commencant par 5 impossible par 4 il y a 401 et 410 par 3 il y a 302,320 par 2 il y a 203,230 par 1 il y a 104,140 b/divisible par 90 c'est a dire par 2*3*3*5 (=90) div par 2 le chiffre des unites est pair div par 5 le chiffre des unites est 0 ou 5 soit le chiffre des unite est 0 divisible par 9: la somme du chiffre des centaine et de celui des dizaine est un multiple de 9, il ne peut s'agir que de neuf car 18=9+9 ce n'est plus un " entier complet" les solutions sont 180,270,360,450,540,630,720,810 3/ a/ le plus petit est 1023456789 (le 0 ne peut pas etre le premier chiffre du nombre sinon il s'agit d'un nombre a 9 chiffres si on appelle ce nombre abcdefghij chacune de ces lettres sera successivement 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (sauf le a qui ne sera jamais 0, là je me repete) la somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 je sent que la reponse n'est pas loin laisse moi chercher un peu
Kikounette04 Posté(e) 21 avril 2007 Auteur Posté(e) 21 avril 2007 Balaise balaise .... même si je me rends compte qu'avec la solution c'était simple!!!!! Ca me fait flipper à 10j du concours qd mm....!!!! Pour la dernière question, ça serait pas un truc du genre : quelque soit le nombre de nombres complets et vu que la somme d'un nombre sera toujours 45 (puisqu'ils sont toujours composés de 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), et vu qu'il y a mini deux nombres complets , la somme des chiffres de tous ces nombres (donc 45+45=90 au mini pr deux nombres) sera un multiple de 90. Ah ouais ça marche pas ... mince pour trois nombres complets à 10 chiffres ça fait 135 donc pas multiple de 90 mais de 45. ou alors faut trouver qu'il y a un nombre pair de possibilités!! Donc CA MARCHE EN FAIT car il ya 3265920 solutions (selon ta réponse pus haut) : 3265920/90=1632960 donc c'est bon!!!!! ouais!!!! youpi (enfin si c'est assez clair mathématiquement dans mon explication pour un correcteur de concours!!!) Merci beaucoup à toi d'avoir répondu à mon post!! Thanks
Dominique Posté(e) 21 avril 2007 Posté(e) 21 avril 2007 si on appelle ce nombre abcdefghij chacune de ces lettres sera successivement 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (sauf le a qui ne sera jamais 0, là je me repete) la somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 je sent que la reponse n'est pas loin laisse moi chercher un peu Voici une solution pour la dernière question (il y a peut-être plus simple ...). Pour chacun des nombres complets à dix chiffres, la somme des chiffres vaut, comme tu l'as fait remarquer, 45. Donc chacun des nombres est divisible par 9. Donc la somme est divisible par 9. Comme 9 et 10 sont permiers entre eux, si on arrive à démontrer que la somme des nombres complets à dix chiffres est aussi divisible par 10, on pourra dire qu'elle est divisible par 90. Il s'agit donc de montrer que la somme des nombres complets à dix chiffres est divisible par 10, autrement dit que le chiffres des unités de cette somme vaut 0. Il y a 9×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 362880 nombres se terminant par 0. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 1. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 2. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 3. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 4. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 5. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 6. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 7. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 8. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 9. Le chiffres des unités de la somme des nombres complets à dix chiffres est le même que le chiffres des unités du nombre obtenu en ajoutant 362880 fois 0, 322560 fois 1,322560 fois 2, 322560 fois 3, 322560 fois 4, 322560 fois 5, 322560 fois 6, 322560 fois 7, 322560 fois 8 et 322560 fois 9. Comme les nombres 362880 et 322560 sont des multiples de 10, ce chiffre des unités sera bien un 0, ce que l'on voulait démontrer.
Dominique Posté(e) 21 avril 2007 Posté(e) 21 avril 2007 3265920/90=1632960 donc c'est bon!!!!! ouais!!!! youpi (enfin si c'est assez clair mathématiquement dans mon explication pour un correcteur de concours!!!) Personnellement, je ne vois pas le rapport que tu établis entre le fait que le nombre de nombres complets à dix chiffres soit divisible par 90 et le fait que la somme de ces nombres complets à dix chiffres soit divisible par 90.
Kikounette04 Posté(e) 21 avril 2007 Auteur Posté(e) 21 avril 2007 si on appelle ce nombre abcdefghij chacune de ces lettres sera successivement 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (sauf le a qui ne sera jamais 0, là je me repete) la somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 je sent que la reponse n'est pas loin laisse moi chercher un peu Voici une solution pour la dernière question (il y a peut-être plus simple ...). Pour chacun des nombres complets à dix chiffres, la somme des chiffres vaut, comme tu l'as fait remarquer, 45. Donc chacun des nombres est divisible par 9. Donc la somme est divisible par 9. Comme 9 et 10 sont permiers entre eux, si on arrive à démontrer que la somme des nombres complets à dix chiffres est aussi divisible par 10, on pourra dire qu'elle est divisible par 90. Il s'agit donc de montrer que la somme des nombres complets à dix chiffres est divisible par 10, autrement dit que le chiffres des unités de cette somme vaut 0. Il y a 9×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 362880 nombres se terminant par 0. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 1. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 2. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 3. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 4. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 5. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 6. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 7. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 8. Il y a 8×8×7×6×5×4×3×2×1 soit 322560 nombres se terminant par 9. Le chiffres des unités de la somme des nombres complets à dix chiffres est le même que le chiffres des unités du nombre obtenu en ajoutant 362880 fois 0, 322560 fois 1,322560 fois 2, 322560 fois 3, 322560 fois 4, 322560 fois 5, 322560 fois 6, 322560 fois 7, 322560 fois 8 et 322560 fois 9. Comme les nombres 362880 et 322560 sont des multiples de 10, ce chiffre des unités sera bien un 0, ce que l'on voulait démontrer. Je suis désolée mais je comprends pas la fin. Pourquoi n'y-a-t'il pas autant de nombres qui se terminent par 0 et par les autres chiffres (1,2,3,4,5,6,7,8,9)?? Merci pour la patience.... lol
Dominique Posté(e) 21 avril 2007 Posté(e) 21 avril 2007 Pourquoi n'y-a-t'il pas autant de nombres qui se terminent par 0 et par les autres chiffres (1,2,3,4,5,6,7,8,9)?? Parce que 0 joue un rôle particulier : le chiffre le plus à gauche d'un nombre complet à dix chiffres ne peut pas être un 0. Pour les nombres se terminant par 0 il y a : 9 manières de choisir le premier chiffre (tout chiffre sauf 0) 8 manières de choisir le second chiffre (tout chiffre sauf 0 et sauf celui qui a déjà été utilisé) etc. Pour les nombres se terminant par un autre chiffre a que 0 il y a : 8 manières de choisir le premier chiffre (tout chiffre sauf 0 et a) 8 manières de choisir le deuxième chiffre (tout chiffre sauf celui qui a déjà été utilisé et sauf a) etc.
florenceloq Posté(e) 22 avril 2007 Posté(e) 22 avril 2007 Sincèrement, c'est le genre d'exercices que nous dvons avoir faits au moins une fois avant le jour-J... voire deux mais à un bon intervalle de temps... sinon, on a du mal à comprendre comment faire! Une fois qu'on l'a vu, le jour-J la solution revient, je pense... enfin, j'espère
Charivari Posté(e) 22 avril 2007 Posté(e) 22 avril 2007 Histoire de ne pas trop flipper (je parle de la dernière question), je n'ai pour l'instant rien vu d'aussi dur dans les annales de l'an dernier
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