Technique opératoire

[Leau]

Je viens de penser à une résolution algébrique du biniou.

Pour le nombre à deux chiffres.

appelons le ab "barre"

On cherche ab² (barre)

On a a compris strictement entre 0 et 10, et b (peut être nul) et inférieur à 10)

ab² (barre)

= (10a + b)²

= 100a² + 20ab + b²

= 100 a² + 10 (2ab) + b²

A quelles conditions cette expression est-elle égale à xyab (barre) ? (avec x et y qui sont des chiffres inférieurs à 10)

Conditons

1. il faut que le chiffre des unités de b² soit égal à b (c'est ecqu'on a vu en 1)

2. il faut que le nombre d'unités de N vaille a, avec N= 2ab + le chiffre des dizaines de b² (la retenue)

Vérification

25

1. le nombre 5² a bien 5 comme chiffre des unités

2. 2ab + 2 = 2 x 10 + 2 = 12 le chiffre des unités est égal à a

76

1. ok

2. 2ab + 3 = 84+3 = 87 le chiffre des unités est bien égal à a

CQFD.

Bon, je suppose que ça "mime" l'addition à trou, ça.

Je suis OK avec ton raisonnement :P j'avais commencé un truc similaire avant de partir manger.

Je le reprends donc en essayant de le compléter

appelons le ab "barre"

On cherche ab² (barre)

On a a compris strictement entre 0 et 10, et b (peut être nul) et inférieur à 10)

ab² (barre)

= (10a + b)²

= 100a² + 20ab + b²

= 100 a² + 10 (2ab) + b²

A quelles conditions cette expression est-elle égale à xyab (barre) ? (avec x et y qui sont des chiffres inférieurs à 10)

Conditons

1. il faut que le chiffre des unités de b² soit égal à b (c'est ecqu'on a vu en 1)

2. il faut que le nombre d'unités de N vaille a, avec N= 2ab + le chiffre des dizaines de b² (la retenue)

N est le nombre de dizaines de l'entier xyab (barre)

A la première question, on a pu vérifier que 0,1,5,et 6 permettaient d'avoir un entier à un chiffre tel qu'il soit égal aux unités de son carré.

Cherchons donc pour chaque b les valeurs de a correspondantes.

b=0

Alors N=0, et ab=0 ce qui n'est pas un entier à deux chiffres.

b=1

Alors N = 2a+0 =2a

N peut aussi s'écrire dca (barre) ou 100d+10c+a

2a= 100d+10c+a

a=100d+10c

Alors a =0 ou a>10

Donc ça ne répond pas au critère que ab(barre) soit un entier à deux chiffres

b=5

Alors N= 10a+2 = 100d+10c+a (d=0 car au max N=92)

Soit 9a+2=10c donc (9a+2) est multiple de 10 avec a<10

On ne trouve que 2 qui respecte cela.

Premier nombre A possible : 25, et si on l'élève au carré on a bien : 25²=625

b=6

Alors N=12a+3=100d+10c+a ; 12a+3 peut être supérieur à 100 si a = 9 (12*9+3=111)

On a donc deux cas :

a=9

Dans ce cas d=1

12a+3= 100+10c+a

11a=97+10c

11a-97=10c

11*9=99 et donc 2=10c ce qui ne correspond pas à c entier. a=9 n'est pas une solution.

a<9

Soit 11a+3=10c donc (11a+3) est multiple de 10 avec a<9

On ne trouve que 7 qui respecte cela.

Second nombre A possible : 76, et si on l'élève au carré on a bien : 76²= 5776

Qu'en pensez-vous ?

[Charivari]

J'en pense que c'est TRES beau !

mais au CRPE, il faut quand même mieux prendre la solution calculette.

Si on n'y a pas droit, c'est pas un exercice facile, et même quand on trouve l'idée, c'est long

[Leau]

Oui enfin c'est surtout l'hypothèse N=... qui est un peu longue à trouver car la suite va très vite en fait !

Tu répètes les mêmes phrases , voir moins pour les cas à très vite éliminer.

Là où la calculette est bienvenue c'est pour les carrés finaux pour vérification (enfin surtout celui de 76 qui est moins connu)

Car pour le reste c'est juste savoir sa table de multiplication de 9 et de 11, même de tête ça va vite (en plus quand tu ne manipules que des entiers, attend toi à ne pas avoir de calculette, ils le permettent plus si tu as des racines non entières ou peu communes à calculer)

Je trouve que ça va plus vite de se réciter les tables de 9 et 11, en cherchant des multiples finissant par 8 ou 7 selon le cas, que de regarder un par un les 15,25,35,... avec multiplications à la main, pour peu que tu n'aies pas la calculette...mais bon ça n'engage que moi hein

[asgraveleau]

Oui nous les bretons, on a été privés de calculatrice l'an dernier. Bouh bouh ! .

[florenceloq]

Oui nous les bretons, on a été privés de calculatrice l'an dernier. Bouh bouh ! .

et la convocation disait que vous y aviez droit? Et cette année pour vous?

[asgraveleau]

Oui nous les bretons, on a été privés de calculatrice l'an dernier. Bouh bouh ! .

et la convocation disait que vous y aviez droit? Et cette année pour vous?

Oui. Et cette année : "la calculatrice est autorisée sauf mention contraire sur le sujet" !! On est trop forts nous les gens de l'ouest !!

[florenceloq]

c'est bon signe pour nous, alors :P . Il n'y a noté QUE :

MATERIELS AUTORISES

Mathématiques : calculatrice électronique de poche (cf. circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999), matériel de construction géométrique (équerre, compas, règle graduée, rapporteur, crayon de papier, taille crayon)

[Charivari]

c'est bon signe pour nous, alors :P . Il n'y a noté QUE :

MATERIELS AUTORISES

Mathématiques : calculatrice électronique de poche (cf. circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999), matériel de construction géométrique (équerre, compas, règle graduée, rapporteur, crayon de papier, taille crayon)

nous aussi, mais le prof dit que ça ne veut rien dire (l'an dernier il y avait ça sur les convocs mais elle n'était pas autorisée, finalement)

Il y a des académies où c'est écrit sur la convoc que la calculatrice n'est pas autorisé ?

[Leau]

ce qui est sur la convoc est tout le matériel autorisé, histoire que tu aies bien tout sur toi, mais il n'y a que le sujet qui dira si OUI ou si NON...

Oui l'an passé en Bretagne pas de calculatrice, mais sincèrement y'en avait pas trop besoin de ce que je me souviens non ?

[asgraveleau]

ce qui est sur la convoc est tout le matériel autorisé, histoire que tu aies bien tout sur toi, mais il n'y a que le sujet qui dira si OUI ou si NON...

Oui l'an passé en Bretagne pas de calculatrice, mais sincèrement y'en avait pas trop besoin de ce que je me souviens non ?

Je suis d'accord qu'on n'en avait pas trop besoin. En même temps, même si le calcul était souvent rapide à la main, j'ai tout vérifié (excès de prudence peut-être ...) et là j'ai le sentiment d'avoir perdu du temps par rapport à si j'avais eu une calculatrice.