Des heures

[Marcos]

Bonjour,

Voici un exo qui m'a "amusé"... <_<

Les aiguilles d'une horloge indiquent qu'il est 3h. On se propose de chercher à quel instant la grande aiguille va dépasser la petite aiguille pour la première fois. On appelle n le nombre de minutes écoulées entre 3h et cet instant.

a) Montrer par un raisonnement simple que 15 < n < 20

b) Trouver la valeur de n. Pour cela, exprimer en fonction de n la mesure de l'angle formé par les deux aiguilles au bout de X minutes.

J'envoie l'corrigé dans quelques minutes

[Marcos]

corrigé.

a)

La grande aiguille dépasse la petite aiguille entre 3h et 4h (bornes exclues). A cet instant, la petite aiguille se trouve nécessairement entre le repère 3 et le repère 4 du cadran, la grande aiguille aussi puisqu'elle va la dépasser.

Donc le nombre de minutes écoulées entre 3h et le moment où les aiguilles se rencontrent est compris strictement entre 15 et 20 donc : 15 < n < 20

b)

Entre 3h et 4h, en 60min, la petite aiguille balaie un angle de 360/12 = 30°

Donc en 1min elle balait un angle de 30/60 = 1/2 °

En 60min, la grande aiguille balaie un angle de 360°, donc en une min, elle balaie un angle de 360/60 =6°

En une minute, la grande aiguille gagne 6 - 1/2 = 11/2 ° sur la petite aiguille.

A 3h l'angle formé par les deux aiguilles est de 90°

Au bout de n minutes, l'angle des deux aiguilles sera de 90-n x 11/2

Les deux aiguilles se rencontrent lorsque cet angle devient nul, soit après un nombre de n minutes tel que:

90-n x 11/2 = 0

soit n = 90 x 2/11 = 180/11 min.

Or 180/11 = (11 x 16 + 4) / 11 = (11 x 16) / 11 + 4/11 = 16 + 4/11

180/11 min = 16 min + 4/11 min.

Convertissons 4/11 min en secondes:

4/11 = 4/11 x 60 ≈ 21.82 s.

Les aiguilles se croiseront à environ 3h 16min et 21.82s.

Bon j'ai bêtement recopié mon livre. Mais l'exo m'a plu...