un petit problème qui me pose de gros problèmes!!!

[misskangoo]

Bonjour!

Cela fait 2 heures que je planche sur un tout petit problème, mais qui me prend bien la tête!!! Je suis sûre que ce n'est pas si sorcier, mais je n'arrive pas à aboutir à un raisonnement correct! J'arrive à trouver la solution en cherchant un peu au pif, mais le cheminement pour parvenir au résultat me pose problème : mon équation n'aboutit à rien!!! Si quelqu'un veut bien me donner son raisonnement et m'expliquer l'équation qu'il faut appliquer, ça m'aiderait vraiment beaucoup! (Je pourrais enfin dormir sur mes 2 oreilles):

Enoncé : "Dans une classe de collège, tous les élèves ont le même âge, sauf sept qui ont un an de plus, et deux qui ont deux ans de plus. Si on ajoute les âges de tous les élèves, on trouve 330. Quel est le nombre d'élèves de la classe?"

J'ai commencé comme cela :

Soit x le nombre total d'élèves de la classe, et y l'âge de base des élèves ;

330 = y(x-9) + 7(y+1) + 2(y+2) ;

330 = xy-9y+7y+7+2y+4 ;

330 = xy+11 ;

xy = 330-11 ;

xy = 319.

Et là je suis bloquée!!! :o

Merci pour vos futures réponses!

[melreb]

Bonjour!

Cela fait 2 heures que je planche sur un tout petit problème, mais qui me prend bien la tête!!! Je suis sûre que ce n'est pas si sorcier, mais je n'arrive pas à aboutir à un raisonnement correct! J'arrive à trouver la solution en cherchant un peu au pif, mais le cheminement pour parvenir au résultat me pose problème : mon équation n'aboutit à rien!!! Si quelqu'un veut bien me donner son raisonnement et m'expliquer l'équation qu'il faut appliquer, ça m'aiderait vraiment beaucoup! (Je pourrais enfin dormir sur mes 2 oreilles):

Enoncé : "Dans une classe de collège, tous les élèves ont le même âge, sauf sept qui ont un an de plus, et deux qui ont deux ans de plus. Si on ajoute les âges de tous les élèves, on trouve 330. Quel est le nombre d'élèves de la classe?"

J'ai commencé comme cela :

Soit x le nombre total d'élèves de la classe, et y l'âge de base des élèves ;

330 = y(x-9) + 7(y+1) + 2(y+2) ;

330 = xy-9y+7y+7+2y+4 ;

330 = xy+11 ;

xy = 330-11 ;

xy = 319.

Et là je suis bloquée!!! :o

Merci pour vos futures réponses!

Je me penche sérieux dessus... Peut-être la réponse ce soir.....

Bon courage

[Fab100]

La réponse est : c'est une classe de 6ème ! :P

Sérieusement, je cherche, je cherche ...

[Zedra]

A cette étape de ton équation, il faut que tu utilises le fait que x et y sont entiers.

Tu cherches les diviseurs de 319 : 319 * 1, 11* 29, 1*319

Comme il s'agit d'élèves de collège, tu trouve 29 élèves de 11 ans

[Fab100]

A cette étape de ton équation, il faut que tu utilises le fait que x et y sont entiers.

Tu cherches les diviseurs de 319 : 319 * 1, 11* 29, 1*319

Comme il s'agit d'élèves de collège, tu trouve 29 élèves de 11 ans

Oui mais là tu le fais par déduction, mais tu ne le démontres pas !

Tu déduis qu'il y 29 élèves de 11 ans, mais ça pourrait être 11 élèves de 29 ans.

Rien ne permet de démontrer que x= 29 et que y= 11, puisque l'inverse donne aussi le bon résultat

[misskangoo]

A cette étape de ton équation, il faut que tu utilises le fait que x et y sont entiers.

Tu cherches les diviseurs de 319 : 319 * 1, 11* 29, 1*319

Comme il s'agit d'élèves de collège, tu trouve 29 élèves de 11 ans

Génial! Merci de m'avoir répondu aussi vite!!! Je n'avais pas du tout pensé aux critères de divisibilité!

[Dominique]

Tu déduis qu'il y 29 élèves de 11 ans, mais ça pourrait être 11 élèves de 29 ans.

Ou 319 élèves de 1 an ...

Mais, pour le collège, 1 an c'est un peu jeune même pour les surdoués (sans compter qu'une classe de 319 élèves ce n'est pas facile à gérer) et 29 ans c'est quand même un peu vieux ...

[Fab100]

Tu déduis qu'il y 29 élèves de 11 ans, mais ça pourrait être 11 élèves de 29 ans.

Ou 319 élèves de 1 an ...

Mais, pour le collège, 1 an c'est un peu jeune même pour les surdoués (sans compter qu'une classe de 319 élèves ce n'est pas facile à gérer) et 29 ans c'est quand même un peu vieux ...

Oui, tout à fait ! Mais alors la réponse n'est pas complète non ? Du moins la démonstration n'est pas complète...

S'arrêter à xy=319 et résoudre ensuite par déduction est-il le seul moyen de trouver la bonne réponse ?

[Dominique]

Du moins la démonstration n'est pas complète...

S'arrêter à xy=319 et résoudre ensuite par déduction est-il le seul moyen de trouver la bonne réponse ?

Je ne comprends pas pourquoi tu considères que "la démonstration n'est pas complète" et je ne comprends pas ce que tu appelles "résoudre par déduction".

Le raisonnement pas déduction (mais encore faudrait-il qu'on soit d'accord sur ce que ça signifie) est le type de raisonnement le plus souvent utilisé quand on rédige une démonstration en maths. Je ne vois donc pas en quoi ça pose problème.

On est arrivé à xy = 319 en appelant x le nombre total d'élèves de la classe, et y "l'âge de base des élèves".

On cherche donc x et y entiers qui vérifient xy = 319. Or la décomposition de 319 en un produit de nombres premiers est 319 = 11 × 29.

Les seules solutions possibles a priori pour le problème posé sont donc :

x = 1 et y = 319

x = 11 et y = 29

x = 29 et y = 11

x = 319 et y = 1.

Parmi ces solutions possibles a priori, la seule solution compatible avec le fait que x représente un âge d'élèves de collège est la solution x = 11 et y = 29. On vérifie que 29 est effectivement une valeur possible pour le nombre d'élèves d'une classe et on conclut donc que x = 11 et y = 29.

La démonstration précédente est bien une démonstration "complète" (les "donc" correspondent aux "déductions réalisées").

[Fab100]

Du moins la démonstration n'est pas complète...

S'arrêter à xy=319 et résoudre ensuite par déduction est-il le seul moyen de trouver la bonne réponse ?

Je ne comprends pas pourquoi tu considères que "la démonstration nest pas complète" et je ne comprends pas ce que tu appelles "résoudre par déduction".

Le raisonnement pas déduction (mais encore faudrait-il qu'on soit d'accord sur ce que ça signifie) est le type de raisonnement le plus souvent utilisé quand on rédige une démonstration en maths. Je ne vois donc pas en quoi ça pose problème.

On est arrivé à xy = 319 en appelant x le nombre total d'élèves de la classe, et y "l'âge de base des élèves".

On cherche donc x et y entiers qui vérifient xy = 319. Or la décomposition de 319 en un produit de nombres premiers est 319 = 11 × 29.

Les seules solutions possibles a priori pour le problème posé sont donc :

x = 1 et y = 319

x = 11 et y = 29

x = 29 et y = 11

x = 319 et y = 1.

Parmi ces solutions possibles a priori, la seule solution compatible avec le fait que x représente un âge d'élèves de collège est la solution x = 11 et y = 29. On vérifie que 29 est effectivement une valeur possible pour le nombre d'élèves d'une classe et on conclut donc que x = 11 et y = 29.

La démonstration précédente est bien une démonstration "complète" (les "donc" correspondent aux "déductions réalisées").

Ce que je voulais dire, c'est qu'il y a plusieurs solutions à l'équation ; mais une seule est cohérente avec l'énoncé, donc on en déduit que c'est celle-ci qui est correcte (mais les autres le sont aussi mathématiquement). Mais si, au lieu de 11 et 29, nous avions comme solutions pour x et y, 11 et 14 ; on ne pourrait pas en déduire le nombre d'élèves et l'age moyen des élèves, car les deux réponses seraient cohérentes. C'est en ce sens que je voulais dire que la démonstration n'était pas complète et qu'on obtenait la bonne réponse par déduction.

Mais je comprends ta démonstration

Merci pour ces éclaircissements.

[Dominique]

Ce que je voulais dire, c'est qu'il y a plusieurs solutions à l'équation ; mais une seule est cohérente avec l'énoncé, donc on en déduit que c'est celle-ci qui est correcte (mais les autres le sont aussi mathématiquement).

Je ne pense pas qu'on puisse dire que les autres sont mathématiquement correctes car la mise en équation du problème consiste à dire qu'on cherche

x et y tels que :

1) x et y sont des entiers

2) x représente un nombre d'élèves d'une classe de collège d'où un encadrement (pas très précis je te l'accorde) pour x

2) y représente un âge d'élèves de collège d'où un encadrement (pas très précis lui non plus) pour y

3) xy = 319

Mais si, au lieu de 11 et 29, nous avions comme solutions pour x et y, 11 et 14 ; on ne pourrait pas en déduire le nombre d'élèves et l'age moyen des élèves, car les deux réponses seraient cohérentes.

Dans ce cas le problème posé aurait deux solutions.

[Fab100]

Ce que je voulais dire, c'est qu'il y a plusieurs solutions à l'équation ; mais une seule est cohérente avec l'énoncé, donc on en déduit que c'est celle-ci qui est correcte (mais les autres le sont aussi mathématiquement).

Je ne pense pas qu'on puisse dire que les autres sont mathématiquement correctes car la mise en équation du problème consiste à dire qu'on cherche

x et y tels que :

1) x et y sont des entiers

2) x représente un nombre d'élèves d'une classe de collège d'où un encadrement (pas très précis je te l'accorde) pour x

2) y représente un âge d'élèves de collège d'où un encadrement (pas très précis lui non plus) pour y

3) xy = 319

Mais si, au lieu de 11 et 29, nous avions comme solutions pour x et y, 11 et 14 ; on ne pourrait pas en déduire le nombre d'élèves et l'age moyen des élèves, car les deux réponses seraient cohérentes.

Dans ce cas le problème posé aurait deux solutions.

OK, j'ai bien compris, merci !