Preuve par 9 et par 11

[manivelle]

Bonjour,

A mon tour de mettre un exo de maths qui m'a posé problème (déjà, je ne savais pas ce qu'était la preuve par 9 !)

On a l'égalité 353 x 248 = 87ab4 (surligné) dans laquelle a et b sont 2 chiffres qu'on se propose de déterminer.

Pour cela, faites la preuve par 9 puis par 11, et vous obtiendrez 2 relations entre a et b qui vous permettront de les déterminer sans compter l'opération.

Bon courage !

[manivelle]

Apparemment, personne ne s'y est frotté pour l'instant ... Bon, moi je pars en week-end, donc si vous avez besoin de billes pour avancer dans cet exo, soit vous attendez lundi, soit quelqu'un d'autre du CNED pourra vous guider : c'est dans le bouquin de didactique p68.

Allez, juste une piste : faire la preuve par 9 d'une multiplication c'est multiplier entre eux les restes de la division par 9 des 2 facteurs et comparer avec le reste de la division par 9 du résultat.

Allez, bon courage B) , moi je ne peux encore pas bosser ce week-end <_< , mais j'ai bien avancé cette semaine, donc tant pis !

[Hubert]

C'est assez compliqué.

Bon, on commence par la preuve par 9, en calculant des restes dans des divisions par 9. Ca, c'est simple, le reste d'un nombre dans la division par 9 est identique à celui de la somme des chiffres du nombre.

On y va :

353 -> reste 2

248 -> reste 5

2x5 -> reste 1

87ab4 -> reste identique à celui de 8+7+a+b+4=a+b+19, donc identique au reste de a+b+1

Si l'opération est juste, on en déduit alors que a+b+1 a un reste de 1 dans sa division par 9, donc que a+b+1=1 ou 10, donc a+b=0 ou 9

On recommence avec 11 :

353 -> 1 (ça se voit à l'oeil nu, car 352 est multiple de 11 vu que 3+2=5)

248 -> 6 (car on voit à l'oeil nu que 242 est multiple de 11, donc 248=242+6 a un reste de 6)

1x6 -> 6

87ab4 = 87004 + 10(10a+b )

87004 a un reste de 5 (trouvé à la calculatrice, j'admets...), donc le reste de 87ab4 est égal au reste de 5+100a+10b, qui doit être égal à 6. Donc le reste de 100a + 10b doit être égal à 1.

Maintenant, si a+b=0, alors a=b=0, et 100a+10b=0, et le reste est 0. Ca ne convient pas.

Donc a+b=9 <=> b=9-a

100a+10b = 100a+10(9-a) = 100a+90-10a = 90a+90 = 90(a+1)

Le reste de 90 dans la division par 11 est 2. Il faut donc que a+1 soit égal à 6 (2x6=12, et a 1 pour reste dans la division par 11), soit a = 5.

b = 9-a = 4

Le nombre cherché est donc 87544

Mais c'est long et compliqué, ça m'étonnerait que ce genre d'exo sorte au concours tel quel...

[kti]

ouaouh mazette, j'ai rien compris je ne sais faire que la preuve par 9.

est -ce qu'on peut faire aussi la preuve par 2,3,4,5,6 etc... je ne savais même pas que ça existait la preuve par 11

[Hubert]

Ben oui, on peut faire une preuve par n'importe combien. L'avantage de 9, c'est qu'il est facile de calculer le reste d'une division par 9, ça se fait mentalement. Avec 3 aussi, mais la preuve n'a que peu de valeur, il n'y a que 3 possibilités pour le reste. Pour la preuve par 11, ça peut être simple dans un cas comme celui-là, mais en général, c'est trop compliqué pour être utilisable.

Voilà.

[kti]

merci hubert. en fait j'ai appris la preuve par 9 quand j'étais en CM2 et on ne m'a jamais parlé de reste! si par exemple j'avais le nombre 854 je faisais 8+5+4=17 donc 7+1= 8 pour l'autre je faisais pareil, je multipliais ces 2 résultats, j'obtenais un 3è nombre et mon opération était juste si le résultat de ma multiplication était égal à ce 3ènombre cryin

voilà

titoon a mis un problème de géométrie

[Hubert]

Ben oui, mais cette histoire de calculer la somme des chiffres, c'est en fait une méthode qui permet de calculer de tête le reste de la division du nombre par 9.

On peut faire la même chose avec n'importe quel autre nombre.

Evidemment, si on veut faire une preuve par 51, ça aura plus de valeur, mais allez calculer de tête le reste d'une division par 51, vous m'en direz des nouvelles...

C'est juste parce qu'il y a un moyen simple avec 9 qu'on n'utilise que la preuve par 9.

J'ai vu pour l'exo de géométrie. C'est tout simple.

[kti]

oui c'est simple mais les démo de géométrie sont très très loin pour moi (j'étais en 3ème en 1965 cryin ). il y a des trucs que je sais mais je n'ai pas toujours le bon théorème en tête mais c'est pas grave je m'éclate

[tatoune]

WWWOOOUUUUAAAAOOOOUUUUU!!!!!!!!!!

Hubert, tu m'époustouflifie avec tes explications!

[manivelle]

Bravo Hubert !

Oui, moi aussi je pense que ce genre d'exo ne peut pas être donné sans aide pour nous guider . Ca me parait beaucoup trop compliqué !