un peu de géométrie

[Annedu49]

Bonsoir!

Aujourd'hui, j'ai fait mon dm de maths et je suis assez contente parce que j'ai presque tout fait sauf une question qui me résiste:

tracer un cercle de 2,5 cm de rayon et de centre O, soit [bC] un diamètre et A un point du cercle tel que AB= 3 cm.

Choisir un point H quelconque appartenant à [bC] et construire la perpendiculaire à (AB) qui passe par H. Elle coupe AB en I.

Construire la perpendiculaire à (AC) passant par H. Elle coupe [AC] en J.

1. Montrer que ABC est un triangle rectangle. (ça c'est bon, pas trop compliqué!)

2. Calculer la longueur de [AC]. (pareil déjà fait)

3. Quelle est la nature du quadrilatère AIHJ. (c'est bon, moi je trouve un rectangle...)

4. (c'est là que ça coince) On décide que IH= x. Exprimer IA en fonction de x (ce que je ne comprends pas c'est que si x varie, le côté IA lui ne varie pas). On voudrait savoir pour quelle valeur de x le rectangle devient un carré.

Merci pour votre aide parce que là, je n'en puis plus, en vous remerkiant!

[Dominique]

.../...

4. (c'est là que ça coince) On décide que IH= x. Exprimer IA en fonction de x (ce que je ne comprends pas c'est que si x varie, le côté IA lui ne varie pas).

IA varie bien.

Va ici et fais bouger le point H : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/exo.htm

Remarque :

cette figure dynamique te permet de trouver par tâtonnement une valeur approchée de la valeur de x pour laquelle AIHJ est un carré ce qui te permettra de vérifier ton résultat, une fois que tu auras répondu à la question posée et trouvé pour quelle valeur exacte de x AIHJ est un carré.

[Annedu49]

Merci, il fallait utiliser Thalès en fait!

[Dominique]

Merci, il fallait utiliser Thalès en fait!

Oui ...

[drshiva]

(La démonstration ci-dessous n'est pas rédigée de manière idéale mais le principe de résolution est là).

Posons y=AI.

AJHI est un rectangle (déjà démontré) or comme les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles entre eux on a :

(AI)//(JH) et (AJ)//(IH)

En appliquant le théorème de Thalès on a :

• d'une part : CA/JA = CB/HB soit : 4/x = 5/HB soit : HB = 5x/4
  

et

• d'autre part : BA/IA = BC/HC soit : 3/y = 5/HC soit HC = 5y/3
  

Or BC étant le diamètre du cercle connu et H appartenant à ce diamètre on a : HB+HC=5

on en déduit que : 5x/4 + 5y/3 = 5 soit en réduisant : y = 3 - 3x/4 c'est-à-dire : AI = 3 - 3x/4

AJHI est un carré si x=AI c'est à dire si : x = 3 - 3x/4, soit x=12/7 qui vaut environ 1,714285......

Vous pouvez vérifier sommairement avec l'application fournie par Dominique : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/exo.htm