exercice d'arithmétique

[Lilitte]

Bonsoir,

J'ai des problemes avec cet exercice:

Trouver les entiers naturels a 4 chiffres satisfaisant ces conditions:

_ le nombre de centaines de n est un nombre premier inferieur a 20

_ le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24

_ le reste de la division de n par 9 est superieur a 6

_ le reste de la division de n par 5 est egal à 1

Si quelqu'un a des indices pour me guider, j'accepte avec plaisir.

Les seules choses que j'ai réussi à determiner:

N=mcdu

mc= 11 ou 13 ou 17 ou 19

donc 1100<n<1900

n=100q+24K

or 24k= 24 ou 48 ou 72 ou 96

n=5q+1

Merci d'avance

[leosteph]

Bonsoir,

J'ai des problemes avec cet exercice:

Trouver les entiers naturels a 4 chiffres satisfaisant ces conditions:

_ le nombre de centaines de n est un nombre premier inferieur a 20

_ le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24

_ le reste de la division de n par 9 est superieur a 6

_ le reste de la division de n par 5 est egal à 1

Si quelqu'un a des indices pour me guider, j'accepte avec plaisir.

Les seules choses que j'ai réussi à determiner:

N=mcdu

mc= 11 ou 13 ou 17 ou 19

donc 1100<n<1900

n=100q+24K

or 24k= 24 ou 48 ou 72 ou 96

n=5q+1

199

Merci d'avance

Voici ce que je répondrai :

Je suis d'accord pour mc = 11 ou 13 ou 17 ou 19

mais je dirais 1100 < n < 1999

Je suis d'accord avec les hypothèses de la seconde condition :

du = 24 ou 48 ou 72 ou 96

or n = 5v + 1 (quatrième condition)

j'ai écrit la suite en blanc

Pour qq pistes, je te dirai d'appliquer la quatrième condition pour éliminer certaines propositions de la seconde condition.

Puis appliquer la troisième condition.

donc u = 1 ou u =6 puisque tt nombre multiple de 5 se termine par 0 ou 5

donc du = 96

Reste à appliquer la troisième condition sur les nombres possibles : 1196 ; 1396 ; 1796 ; 1996

1196 = 9 X 132 + 8

1396 = 9 X 155 + 1

1796 = 9 X 199 + 5

1996 = 9 X 221 + 7

donc finalemt, seuls deux nb sont possibles : 1196 et 1996

[pims]

_ le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24

n=100q+24K

or 24k= 24 ou 48 ou 72 ou 96

Le reste de la division de n par 100 s'écrit du (les dizaines et les unités sont bien ce qui reste quand on ne peut plus payer avec des billets de 100)

donc du= 24, 48, 72 ou 96

En examinant le critère par 5, ça devrait éliminer quelques cas puis par 9 pour finir.

[orion144]

donc u = 1 ou u =6 puisque tt nombre multiple de 5 se termine par 0 ou 5

donc du = 96

Pour s'en convaincre, on peut aussi procéder en testant les différentes valeurs de k :

mcdu=mc*100+ du

mcdu=mc*20*5 + k *(4*5+4)

mcdu=5*(20*mc+4*k)+4*k

k=1 : mcdu = 5*(20mc+4k)+4

k=2 : mcdu = 5*(20mc+4k+1)+3

k=3: mcdu=5*(20mc+4k+2)+2

k=4 : mcdu=5*(20mc+4k+3)+1

seule la condition k=4 vérifie l'hypothèse. Donc du=96

[Dominique]

Proposition de solution :

Soit (mcdu) le nombre cherché.

La dernière condition (le reste de la division de n par 5 est egal à 1) revient à dire que le chiffre u des unités vaut 1 ou 6

(car n = 5q +1 devient n = 10k +1 si q est pair et n = 10k' + 6 si q est impair).

La deuxième condition (le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24) revient à dire que (du) est un multiple de 24. Compte tenu du fait que u doit valoir 1 ou 6 la seule possibilité est que (du) = 96. On en déduit donc que le chiffre d des dizaines vaut 9.

La première condition (le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur a 20) revient à dire que (mc) vaut 11 ou 13 ou 17 ou 19.

Il ne reste donc que quatre possibilités : n = 1196 ou n = 1396 ou n= 1796 ou n= 1996.

Parmi ces quatre nombres, il n' y en a que deux qui vérifient la première condition (le reste de la division de n par 9 est supérieur a 6) : le nombre 1196 et le nombre 1996.

Conclusion : Il y a deux entiers naturels à quatre chiffres qui vérifient les quatre conditions. Ce sont les nombres 1196 et 1996.

[leosteph]

Conclusion : Il y a deux entiers naturels à quatre chiffres qui vérifient les quatre conditions. Ce sont les nombres 1196 et 1996.

Ma réponse était donc correcte.

Je n'avais pas utilisé les conditions ds cet ordre mais c'est moins rapide.

[Dominique]

Ma réponse était donc correcte.

Oui tout à fait.

J'ai simplement indiqué une autre manière de rédiger la solution.

[Lilitte]

Bonjour,

Je voulais vous remercier pour toutes les pistes données. Vous êtes trop forts!!!

J'ai opté pour la rédaction de Dominique qui me paraissait très claire.

Merci encore!

[Anwamanë]

La dernière condition (le reste de la division de n par 5 est egal à 1) revient à dire que le chiffre u des unités vaut 1 ou 6

(car n = 5q +1 devient n = 10k +1 si q est pair et n = 10k' + 6 si q est impair).

Je n'ai absolument pas compris comment tu es passé à K ...

[pims]

n=5q+1 car le reste de la division de n par 5 est 1

si q est pair, q s'écrit 2k donc n=5*2k+1=10k+1 donc le chiffre des unités est 1

si q est impair, q s'écrit 2k'+1 donc n=5*(2k'+1)+1=10k'+5+1=10k'+6 donc le chiffre des unités est 6

Un jour de concours, est-ce suffisant d'écrire:

Le reste de la division de n par 5 est 1.

Les multiples de 5 sont les nombres qui ont 0 ou 5 comme chiffre des unités.

Donc le chiffre des unités de n est 1 ou 6.

A votre avis ?

[Anwamanë]

n=5q+1 car le reste de la division de n par 5 est 1

si q est pair, q s'écrit 2k donc n=5*2k+1=10k+1 donc le chiffre des unités est 1

si q est impair, q s'écrit 2k'+1 donc n=5*(2k'+1)+1=10k'+5+1=10k'+6 donc le chiffre des unités est 6

Je ne savais pas que q=2k

[pims]

Je tente une explication...

un nombre pair est un multiple de 2, ça veut dire que si on a un nombre q pair de bonbons et qu'on le partage entre 2 enfants, il n'y a pas de jaloux, chaque enfant a le même nombre k de bonbons et il n'en reste aucun dans le sac.

donc q=k+k=2k

pour un nombre q impair de bonbons, chaque enfant en reçoit k mais il en reste 1 au fond du sac à l'issue du partage donc q=k+k+1=2k+1