soucis arithmetique

[kristele66]

l'exercice demande de calculer le plus petit nombre entier ayant 21 diviseurs

la réponse est 21=3x7=(2+1)(6+1) ou 21=20+1

jusque là je comprend

aprés ils disent qu'il faut choisir a et b les plus petits possibles

donc a=3 et b =2

3²x2puissance3=576

pourquoi on a pris 3 et 2 et pas d'autres nombres ?

comment on sait qu'il faut prendre 2 et 3 et pas d'autres nombres je suis perdu

help

[pims]

Dans ton exercice a et b sont des nombres premiers et on cherche le plus petit nombre possible donc on prend les plus petits nombres premiers possibles c'est à dire 2 et 3.

Je détaille en dessous :

Si un nombre N a comme écriture en facteurs premiers

N = p1^a1 x p2^a2 x ......pk^ak

ses diviseurs sont de la forme N = p1^b1 x p2^b2 x ......pk^bk avec 0<=b1<=a1 ; 0<=b2<=a2...

on a donc a1+1 façon de choisir b1, a2+1 façon de choisir b2 ...

Le nombre de diviseurs de N est donc (a1+1) x (a2+1) x ... x (ak+1)

Ici le nombre de diviseurs est 21,

21=3x7=(2+1)(6+1) donc N = p^2 x p'^6 mais N doit être le plus petit possible, donc les nombres premiers p et p' doivent être le plus petit possible cad 2 et 3

donc N=2^2 x 3^6 ou N=3^2 x 2^6 le plus petit est N=3^2 x 2^6

ou 21=20+1 donc N=p^20 avec p premier le plus petit possible cad N=2^20

on compare 3^2 x 2^6 et 2^20 et on garde le plus petit N=3^2 x 2^6=576

C'est pas très facile à écrire sur le forum, j'espère que tu vas arriver à lire. Bon courage.

[kristele66]

c'est trés gentil ton aide merci