Petits problèmes de nombres

[éli01]

Bonjour,

Je sèche encore !

Pouvez-vous m'aider sur ces problèmes ?

1- Dans une compétition de patinage artistique, chaque juge met, comme note, un nombre entier.

La moyenne obtenue par un patineur est de 5,625.

Quel est le nombre minimum de membres du jury ?

2- Quel est le nombre qui a exactement 3 diviseurs ?

3- N étant un entier positif non nul, on considère le produit P= n(n+1)(n+2)(n+3).

P est-il toujours multiple de 3, 4, 8 et/ou 24 ?

Merci

[AubergineFelee]

POur le 1, si chaque juge met, comme note, un nombre entier, alors, le total sera un nombre entier.

Il suffit donc, de trouver un entier, divisible par un entier, et dont le résultat sera 5, 625.

Note finale = 5,625 x nombre de jury

Procédure par essai (il y a sans doute une procédure scientifique)

5,625 x 2 = 11,25

5,625 x 3 = 16,875

...

5,625 x 8 = 45

Il y a donc, au minimum 8 jurys.

Pour le 2. Ben en fait, j'ai pas compris la question. Est-elle en rapport avecle 1.

Si oui, ben 45 a 3 diviseurs puisque :

45 est divisible par 5

45 est divisible par 9

45 est divisible par 3

Pour le 3. Je m'y attelle. Mais sans garantie.

[AubergineFelee]

3.

N entier positif non nul

P= n(n+1)(n+2)(n+3)

Si n= 1

P= 1(1+1)(1+2)(1+3)

P= 24

24 est divisible par 3, par 4, par 8 et par 24

Si n= 2

P= 2(2+1)(2+2)(2+3)

P = 120

120 est divisible par 3, par 4, par 8 et par 24

Si n=3

P = 360

360 est divisible par 3, par 4, par 8 et par 24

Si n=4

P= 840

840 est divisible par 3, par 4, par 8 et par 24

....

[doucefeuille]

1) de façon plus "scientifique"

5,625 = somme des notes / nombres de juges

5,625 = 5625 / 1000 --> il suffit de réduire la fraction pour trouver le nombre minimun de jury

5625 = 3² x 5^4

1000 = 2³ x 5³

PGCD (5625;1000) = 5³ --> il suffit de diviser chaque membre de la fraction par 125 pour obtenir la fraction irréductible

5,625 = 45/8

Le nombre minimun de juges est 8 (et la somme des nottes données par ce jury est de 45)

____________________________________________________________

2)

45 a plus de 3 diviseurs :

45 = 3² x 5

nb de diviseurs de (45) = (2+1) x (1+1) = 6

les diviseurs sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45

soit n un nombre entier

nb de diviseurs de (n) = 3 = (2+1)--> n est un nombre premier au carré.

n = 2² = 4 --> divisible par 1 ; 2 ; 4

n = 3² = 9 --> divisible par 1 ; 3 ; 9

n = 5² = 25 --> divisible par 1 ; 5 ; 25

n = 7² = 49 --> divisible par 1 ; 7 ; 49

n = 11² = 121 --> divisible par 1 ; 11 ; 121

... à l'infini

sans autre donnée je ne vois pas comment on peut trouver n

____________________________________________________________

3)

n (n+1) (n+2) (n+3)

* si n est pair --> n = 2k

P = 2k (2k+1) (2k+2) (2k+3) = 2² [ k (2k+1) (k+1) (2k+3)] --> P est multiple de 2² = 4

si k est pair --> k = 2x

P = 2²[ 2x (4x+1) (2x+1) (4x+3) = 2³ [x (4x+1) (2x+1) (4x+3)] --> P est multiple de 2³ = 8

si kest impair --> k = 2x+1

P = 2² [(2x+1) (4x+3) (2x+2) (4x+5)] = 2³ [(2x+1) (4x+3) (x+1) (4x+6)] --> P est multiple de 8

si n est impair ---> n = 2k+1

P = (2k +1) (2k+2) (2k+3) (2k+4) = 2² (2k+1) (k+1) (2k+3) (k+2) ---> P est multiple de 4

si k est pair --> k = 2x

P = 2² [(4x+1) (4x+2) (4x+3) (2x+2)] = 2³ [(4x+1) (2x+1) (4x+3) (x+1)] --> P est multiple de 2³ = 8

si k est impair --> k = 2x+1

P = 2² [(4x+3) (2x+2) (4x+5) (2x+3)] = 2³ [(4x+3) (x+1) (4x5) (2x+3)] --> P est multiple de 2³ = 8

donc P est multiple de 4 et de 8

Pour montrer qu'il est multiple de 3 et de 24, prouver l'un des deux est suffisant vu que

si il est multiple de 3 et de 8 il est forcément multiple de 3x8=24

si il est multiple de 24 il est forcément multiple de 3 et de 8

et je bloque là pour le moment :s

__________

ayé trouvé pour P multiple de 3 :

soit n multiple de 3 --> n = 3d

P = 3d (3d+1) (3d+2) (3d+3) --> P multiple de 3

si n n'est pas multiple de 3 la division euclidienne de n par 3 admet pour reste soit 1 soit 2

soit n = 3d+1

P = (3d+1) (3d+2) (3d+3) (3d+4) = 3 (3d+1) (3d+2) (d+1) (3d+4) --> P est multiple de 3

soit n = 3d+2

P = (3d+2) (3d+3) (3d+4) (3d+5) = 3 (3d+2) (d+1) (3d+4) (3d+5) --> P est multiple de 3

résultat P est multiple de 4, de 8 et de 3 comme il est multiple de 3 ET de 8 premiers entre eux il est multiple de 3x8=24

[AubergineFelee]

Ben j'ai tout faux alors ??

[doucefeuille]

tu n'as pas tout faux

le premier exercice est juste je n'ai fait que donner une méthode plus "scientifique"

pour le second exercice je ne pense pas que ce soit juste de dire que 45 a 3 diviseur vu qu'il en a 6

le dernier exercice tu ne démontres rien, tu ne fais que montrer que c'est vrai pour 1, 2, 3 et 4. Rien ne prouve que pour un nombre quelconque ce soit toujours vrai

[AubergineFelee]

tu n'as pas tout faux

le premier exercice est juste je n'ai fait que donner une méthode plus "scientifique"

pour le second exercice je ne pense pas que ce soit juste de dire que 45 a 3 diviseur vu qu'il en a 6

le dernier exercice tu ne démontres rien, tu ne fais que montrer que c'est vrai pour 1, 2, 3 et 4. Rien ne prouve que pour un nombre quelconque ce soit toujours vrai

Voui

Pour 45, je me suis emballée un peu vite.

POur le dernier, en effet, je n'avais pas vu les choses comme ça.

[Carole06]

j'adore les réponses de Doucefeuille

je ne dis pas que je comprends tout sur tout en 2 secondes mais grâce à elle, j'arrive au résultat

d'ailleurs les exercices 1 et 2 me paraissent bien abordables par contre l'exercice 3...

[éli01]

1) de façon plus "scientifique"

5,625 = somme des notes / nombres de juges

5,625 = 5625 / 1000 --> il suffit de réduire la fraction pour trouver le nombre minimun de jury

5625 = 3² x 5^4

1000 = 2³ x 5³

PGCD (5625;1000) = 5³ --> il suffit de diviser chaque membre de la fraction par 125 pour obtenir la fraction irréductible

5,625 = 45/8

Le nombre minimun de juges est 8 (et la somme des nottes données par ce jury est de 45)

____________________________________________________________

2)

45 a plus de 3 diviseurs :

45 = 3² x 5

nb de diviseurs de (45) = (2+1) x (1+1) = 6

les diviseurs sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45

soit n un nombre entier

nb de diviseurs de (n) = 3 = (2+1)--> n est un nombre premier au carré.

n = 2² = 4 --> divisible par 1 ; 2 ; 4

n = 3² = 9 --> divisible par 1 ; 3 ; 9

n = 5² = 25 --> divisible par 1 ; 5 ; 25

n = 7² = 49 --> divisible par 1 ; 7 ; 49

n = 11² = 121 --> divisible par 1 ; 11 ; 121

... à l'infini

sans autre donnée je ne vois pas comment on peut trouver n

____________________________________________________________

3)

n (n+1) (n+2) (n+3)

* si n est pair --> n = 2k

P = 2k (2k+1) (2k+2) (2k+3) = 2² [ k (2k+1) (k+1) (2k+3)] --> P est multiple de 2² = 4

si k est pair --> k = 2x

P = 2²[ 2x (4x+1) (2x+1) (4x+3) = 2³ [x (4x+1) (2x+1) (4x+3)] --> P est multiple de 2³ = 8

si kest impair --> k = 2x+1

P = 2² [(2x+1) (4x+3) (2x+2) (4x+5)] = 2³ [(2x+1) (4x+3) (x+1) (4x+6)] --> P est multiple de 8

si n est impair ---> n = 2k+1

P = (2k +1) (2k+2) (2k+3) (2k+4) = 2² (2k+1) (k+1) (2k+3) (k+2) ---> P est multiple de 4

si k est pair --> k = 2x

P = 2² [(4x+1) (4x+2) (4x+3) (2x+2)] = 2³ [(4x+1) (2x+1) (4x+3) (x+1)] --> P est multiple de 2³ = 8

si k est impair --> k = 2x+1

P = 2² [(4x+3) (2x+2) (4x+5) (2x+3)] = 2³ [(4x+3) (x+1) (4x5) (2x+3)] --> P est multiple de 2³ = 8

donc P est multiple de 4 et de 8

Pour montrer qu'il est multiple de 3 et de 24, prouver l'un des deux est suffisant vu que

si il est multiple de 3 et de 8 il est forcément multiple de 3x8=24

si il est multiple de 24 il est forcément multiple de 3 et de 8

et je bloque là pour le moment :s

__________

ayé trouvé pour P multiple de 3 :

soit n multiple de 3 --> n = 3d

P = 3d (3d+1) (3d+2) (3d+3) --> P multiple de 3

si n n'est pas multiple de 3 la division euclidienne de n par 3 admet pour reste soit 1 soit 2

soit n = 3d+1

P = (3d+1) (3d+2) (3d+3) (3d+4) = 3 (3d+1) (3d+2) (d+1) (3d+4) --> P est multiple de 3

soit n = 3d+2

P = (3d+2) (3d+3) (3d+4) (3d+5) = 3 (3d+2) (d+1) (3d+4) (3d+5) --> P est multiple de 3

résultat P est multiple de 4, de 8 et de 3 comme il est multiple de 3 ET de 8 premiers entre eux il est multiple de 3x8=24

Wouaaaououh !!!!

Je suis épatée !

Arriverai-je un jour (avant d'être maîtresse, tant qu'à faire...) à réfléchir comme ça ?

Merci beaucoup, vraiment.