problème, équation

[Carole06]

Bonjour à tous!

Je vous mets l'énoncé:

Jérémie découvre le ski. Il emprunte le télésiège qui l'emmène en haut d'une montagne puis il redescend à ski.

La première fois il parcourt la piste avec prudence mais trébuche souvent, la montée et la descente ont nécessité 43 minutes au total. Puis chacune des fois suivantes la descente est une fois et demie plus rapide que la précédente.

La quatrième fois, il met deux fois plus de temps pour monter que pour descendre.

Combien de temps a duré la descente la troisième fois?

J'ai eu ce sujet en concours blanc et j'ai eu la correction ce week-end mais en reprenant mon brouillon, je remarque que j'avais une esquisse de la réponse mais plus moyen de savoir comment j'ai fait, là (au calme, pourtant), je trouve complètement autre chose... M'enfin, dans les 2 cas, mon résultat est erroné Je suis en train de m'énerver sur ce pauvre exercice alors si qqn aurait l'amabilité de me faire une correction détaillée, je lui en serai infiniment reconnaissante...

Merci

[Carole06]

Je vous mets le début que j'avais 'trouvé':

soit x la montée, y la descente

1ère fois: x+y = 2580 [je préfère travailler avec des secondes]

2ème fois: x + (2/3)y [alors que maintenant je trouve (3/2)y ]

3ème fois: x + (4/9)y [maintenant je trouve (9/4)y ]

4ème fois: x + (8/27)y [maintenant je trouve (27/8)y ]

je suis pas plus avancée...

[leosteph]

Bonjour à tous!

Je vous mets l'énoncé:

Jérémie découvre le ski. Il emprunte le télésiège qui l'emmène en haut d'une montagne puis il redescend à ski.

La première fois il parcourt la piste avec prudence mais trébuche souvent, la montée et la descente ont nécessité 43 minutes au total. Puis chacune des fois suivantes la descente est une fois et demie plus rapide que la précédente.

La quatrième fois, il met deux fois plus de temps pour monter que pour descendre.

Combien de temps a duré la descente la troisième fois?

J'ai eu ce sujet en concours blanc et j'ai eu la correction ce week-end mais en reprenant mon brouillon, je remarque que j'avais une esquisse de la réponse mais plus moyen de savoir comment j'ai fait, là (au calme, pourtant), je trouve complètement autre chose... M'enfin, dans les 2 cas, mon résultat est erroné Je suis en train de m'énerver sur ce pauvre exercice alors si qqn aurait l'amabilité de me faire une correction détaillée, je lui en serai infiniment reconnaissante...

Merci

As-tu les résultats qu'il faut obtenir ?

[Carole06]

oui, la réponse est : "On en déduit que la première descente dure 27 minutes, la deuxième descente dure 18 minutes, et la troisième descente dure 12 minutes."

La mise en équation qu'ils font est

x+y = 43

(et)

x = 2 X (y/1.5³)

[leosteph]

oui, la réponse est : "On en déduit que la première descente dure 27 minutes, la deuxième descente dure 18 minutes, et la troisième descente dure 12 minutes."

La mise en équation qu'ils font est

x+y = 43

(et)

x = 2 X (y/1.5³)

Merci

Ce sont bien les résultats que j'ai trouvé.

Je te donne ma démarche dans mon message suivant.

[Carole06]

Je te donne ma démarche dans mon message suivant.

merci

[leosteph]

Soit m le temps de la montée qui est toujours le même.

Soit d_x le temps de la descente x.

Soit T _m-dx le temps de la montée et de la descente x.

- T _m-d1 = m + d₁ = 43

On sait que à chaque descente supplémentaire, le skieur gagne une fois et demi de temps par rapport à la précédente.

On a donc :

- 1,5 d₂ = d₁ <=> d₂ = d₁ / 1,5

- 1,5 d₃ = d₂ <=> d₃ = d₂ / 1,5 = d₁ / (1,5)²

- 1,5 d₄ = d₃ <=> d₄ = d₃ / 1,5 = d₁ / (1,5)³

- T _m-d4 = m + d₄ où 2d₄ = m car deux fois plus de tmps pr monter que pr descendre

- d₄ = m/2 = d₁ / (1,5)³

d'où d₁ = 3,375m / 2

or d₁ = 43 - m

d'où 3,375m / 2 = 43 - m

soit m = 16 min

donc d₁ = 27

d₂ = 18

d₃ = 12

d₄ = 8

[Carole06]

On sait que à chaque descente supplémentaire, le skieur gagne une fois et demi de temps par rapport à la précédente.

On a donc :

- 1,5 d₂ = d₁ <=> d₂ = d₁ / 1,5

- 1,5 d₃ = d₂ <=> d₃ = d₂ / 1,5 = d₁ / (1,5)²

- 1,5 d₄ = d₃ <=> d₄ = d₃ / 1,5 = d₁ / (1,5)³

Est-ce que tu peux faire ça sans les puissances, plutôt avec des fractions pour que je vois où je pêche ?

mais sinon, j'ai beaucoup mieux compris, merci beaucoup

[leosteph]

On sait que à chaque descente supplémentaire, le skieur gagne une fois et demi de temps par rapport à la précédente.

On a donc :

- 1,5 d₂ = d₁ <=> d₂ = d₁ / 1,5

- 1,5 d₃ = d₂ <=> d₃ = d₂ / 1,5 = d₁ / (1,5)²

- 1,5 d₄ = d₃ <=> d₄ = d₃ / 1,5 = d₁ / (1,5)³

Est-ce que tu peux faire ça sans les puissances, plutôt avec des fractions pour que je vois où je pêche ?

mais sinon, j'ai beaucoup mieux compris, merci beaucoup

1,5 = 3/2

donc

d₂ = d₁ / (3/2) = (2/3) d₁

d₃ = d₂ / (3/2) = d₁ / (3/2)² = d₁ / (9/4) = (4/9) d₁

d₄ = d₃ / (3/2) = d₁ / (3/2)³ = d₁ / (27/8) = (8/27) d₁

[Carole06]

parfait!!!! merciiiiii

[doudou]

Soit m le temps de la montée qui est toujours le même.

Soit d_x le temps de la descente x.

Soit T _m-dx le temps de la montée et de la descente x.

- T _m-d1 = m + d₁ = 43

On sait que à chaque descente supplémentaire, le skieur gagne une fois et demi de temps par rapport à la précédente.

On a donc :

- 1,5 d₂ = d₁ <=> d₂ = d₁ / 1,5

- 1,5 d₃ = d₂ <=> d₃ = d₂ / 1,5 = d₁ / (1,5)²

- 1,5 d₄ = d₃ <=> d₄ = d₃ / 1,5 = d₁ / (1,5)³

- T _m-d4 = m + d₄ où 2d₄ = m car deux fois plus de tmps pr monter que pr descendre

- d₄ = m/2 = d₁ / (1,5)³

d'où d₁ = 3,375m / 2

or d₁ = 43 - m

d'où 3,375m / 2 = 43 - m

soit m = 16 min

donc d₁ = 27

d₂ = 18

d₃ = 12

d₄ = 8

c'est la seule manière de résoudre ce problème

[Dominique]

c'est la seule manière de résoudre ce problème

Oui.

Remarque : voir ci-dessous une autre proposition de rédaction de la solution.

Si on appelle t_m la durée de la montée en minutes et t_d la durée de la première descente en minutes on sait que :

1°) t_m + t_d = 43

2°) la durée de la deuxième descente est t_d /1,5

3°) la durée de la troisième descente est t_d /1,5²

4°) le durée de la quatrième descente est t_d /1,5³

5°) t_m = 2t_d/(1,5)³ soit t_d = (t_m × 1,5³)/2

On remplace t_d par (t_m × 1,5³)/2 dans l'équation t_m + t_d = 43.

On obtient l'équation : t_m + (t_m × 1,5³)/2 = 43 soit 2t_m + (t_m × 1,5³) = 86 soit t_m × (2 + 1,5³) = 86

On en déduit que : t_m = 86/(2 + 1,5³) = 16 (en minutes)

D'où : t_d = 43 - 16 = 27 (en minutes).

On en déduit ce qui est demandé à savoir la durée de la troisième descente : 27/1,5² = 12 (en minutes).