caro85 Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 bonjour, a tous ceux qui aime les maths ou non, voici une série d'exos dont je n'ai pas les réponses et pour lesquels je sèche un peu. certaines questions sont ok, mais d'autres! pour info : ils font tous partie du thème PPCM, PGCD, nombre premiers, division euclidienne. bon courage et merci si vous répondez.
caro85 Posté(e) 5 février 2004 Auteur Posté(e) 5 février 2004 oups ! pas de fichiers attache. je retente. exos_pour_forum.doc
platon Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 Salut, Pour l'instant ces exos ne n'ont pas vraiment inspiré. J'ai du mal avec ces notions... Voilà ce que j'ai trouvé pour l'exo 4: PGCD(8x346795,125x346795)=5x69359=346795 PGCD(5x21x23,5x21x17)=5x7x3=105 Est-ce que tu as trouvé les mêmes resultats? Pour le reste, je continue de chercher...
Hubert Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 Exo 1. (a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² (ac + bd)² + (ad - bc)² = a²c² + b²d² + 2abcd + a²d² + b²c² - 2abcd = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a² + b²)(c² + d²) Application : on vient de faire la démonstration de ce qui est demandé juste au dessus. Il n'y a rien de plus à faire. Vérification : 146 = 11² + 5² et 113 = 7² + 8² On pose a = 11, b = 5, c = 7 et d = 8 146 x 113 = 16498 (ac + bd)² + (ad - bc)² = (77 + 40)² + (88 - 35)² = 117² + 53² = 13689 + 2809 = 16498 Donc : 146 x 113 = (11² + 5²) (7² + 8²) = 117² + 53² Exo 2. (x + 2) (y + 1) = 22 = 1x2x11 Les valeurs possibles pour x+2 sont donc 1, 2, 11, 22. Elles correspondent respectivement pour y+1 à 22, 11, 2, 1 Ce qui correspond aux couples de solutions (-1, 21), (0, 21), (9,1), (20, 0) -1 n'étant pas un entier naturel, on peut exclure le couple (-1, 22). Restent 3 solutions. xy + x + y = 18 <=> x(y + 1) + y = 18 <=> x(y + 1) + y + 1 = 18 + 1 <=> (x + 1)(y + 1) = 19 = 1 x 19 Donc x + 1 = 1 et y + 1 = 19, ou x + 1 = 19 et y + 1 = 1 Les couples solutions sont donc (0, 18) et (18, 0) Exo 3. a² - b² = 25 <=> (a - b )(a + b ) = 25 = 1 x 5 x 5 Les valeurs possibles de a - b sont donc 1, 5 ou 25 Les valeurs correspondantes de a + b sont 25, 5 et 1 A chaque possibilité, on a un système de deux équations à résoudre. On trouve comme valeurs possible du couple (a, b ) : (13, 12), (5, 0) a² - b² = 255 <=> (a - b )(a + b ) = 1 x 3 x 5 x 17 Soit A la valeur de a - b et B la valeur de a + b On va avoir à résoudre le système : a - b = A et a + b = B ce qui conduit à : a = (A + B )/2 et b = (B - A )/2 Ceci pour dire que B - A doit être positif, donc que a - b doit être supérieur à a + b, ce qui permet d'éliminer d'office un certain nombre de possibilités. Les valeurs possibles de a - b sont donc 1, 3, 5, 15 Les valeurs correspondantes de a + b sont 255, 85, 51, 17 (les cas correpondant à des valeurs de a - b supérieures à b ont été exclus) On trouve comme valeurs possible du couple (a, b ) : (128, 127), (44, 41), (28, 23), (16, 1) Exo 4. 8 x 346795 et 125 x 346795 sont tous deux divisibles par 346795. 8 = 2x2x2 et 125 = 5x5x5 n'ont pas de diviseur commun autre que 1. Donc le PGCD de 8 x 346795 et 125 x 346795 est 346795 5 x 21 x 23 et 5 x 21 x 17 : le PGCD est 5 x 21 = 105 Exo 5. 1. 112/364 = 4/13 2. a. a/b = 4/13 => a = 4b/13 a + b = 391 => 4b/13 + b = 391 => b = 299 Donc a = 92 La fraction cherchée est 92/299 b. Prenons a = 45 x 4 et b = 45 x 13 4 et 13 sont des nombres premiers. Le PGCD de a et b est donc 45. La fraction cherchée est donc 180/585 Exo 6. Il manque une donnée !!! Exo 7. En s'appuyant sur l'exercice suivant, on peut proposer une suite de 8 nombres commençant par le nombre : 1x2x3x4x5x6x7x8x9 + 2, soit 362882 Avec 10 nombres, il suffit de commencer par le nombre : 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11 + 2, soit 39916802 Exo 8. N = 1 x 2 x 3 x… x 31 est divisible par 2, donc N + 2 aussi N = 1 x 2 x 3 x… x 31 est divisible par 3, donc N + 3 aussi N = 1 x 2 x 3 x… x 31 est divisible par 4, donc N + 4 aussi ... N = 1 x 2 x 3 x… x 31 est divisible par 31, donc N + 31 aussi On a donc là, en partant de N+2, une suite de 31 entiers consécutifs, dont aucun n'est premier, puisque chacun est au moins divisible par 1, par lui-même, et par un autre nombre. On peut de la même façon fabriquer une liste aussi grande qu'on veut. Exo 9. A = 5² x 7 x 11 Pour déterminer tous les diviseurs de A, il suffit de combiner tous les facteurs entre eux. On obtient : 1,5,7,11,25,35,55,77,175,275,385,1925
mooglicola Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 Exo 2.(x + 2) (y + 1) = 22 = 1x2x11 Les valeurs possibles pour x+2 sont donc 1, 2, 11, 22. Elles correspondent respectivement pour y+1 à 22, 11, 2, 1 Ce qui correspond aux couples de solutions (-1, 21), (0, 21), (9,1), (20, 0) -1 n'étant pas un entier naturel, on peut exclure le couple (-1, 22). Restent 3 solutions. Y'a un truc que je comprends pas . Si on prend le couple(0,21) par exemple et qu'on remplace x par0 et y par 21, on a donc (0+2)(21+1), c'est ça ? bein, pourquoi ça donne 44 au lieu de 22 ? J'ai du pas tout comprendre Tu peux m'expliquer ?
mooglicola Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 Exo 7.En s'appuyant sur l'exercice suivant, on peut proposer une suite de 8 nombres commençant par le nombre : 1x2x3x4x5x6x7x8x9 + 2, soit 362882 Avec 10 nombres, il suffit de commencer par le nombre : 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11 + 2, soit 39916802 La non plus je comprends pa (je suis vraiment pas douée ). Pourquoi tu fais ça ? moi je trouve comme suite 113 - 114 -115-116-117-118-119-120-121-122-123-124-125-126 qui sont tous des nombres dont qucun n'est premier.
Hubert Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 Y'a un truc que je comprends pas . Si on prend le couple(0,21) par exemple et qu'on remplace x par0 et y par 21, on a donc (0+2)(21+1), c'est ça ? bein, pourquoi ça donne 44 au lieu de 22 ? J'ai du pas tout comprendre Tu peux m'expliquer ? Je viens de relie mon cahier. Je ne sais pas d'où j'ai sorti ça. La solution n'est pas (0,21) mais (0,10). Il y a sûrement d'autres fautes de frappes dans le genre, je ne me suis pas relu.
Hubert Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 La non plus je comprends pa (je suis vraiment pas douée ).Pourquoi tu fais ça ? moi je trouve comme suite 113 - 114 -115-116-117-118-119-120-121-122-123-124-125-126 qui sont tous des nombres dont qucun n'est premier. Oui, et comment as-tu trouvé cette suite ? Par tâtonnement, je suppose. Moi je n'ai même pas cherché, j'ai simplement utilisé la méthode fournie à l'exercie suivant. Ce ne sont peut-être pas les nombres les plus simples, mais ça marche, et ça m'a pris quelques secondes seulement.
coralie Posté(e) 5 février 2004 Posté(e) 5 février 2004 C'est bien vos propositions Perso, pas encore envie de me replonger dedans cette année _bl_sh_ mais si après vous aviez une correction à me proposer pour mes neurones l'an prochain je suis preneuse L'an passé je n'y comprenais déjà rien cryin
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