exo blanc

[Doca]

si ça vous intéresse, je pourrai y ajouter les questions complémentaires...

1/A/ En partant de 17 584 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 17 692? Justifiez votre réponse.

B/ En partant de 2 197 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 31 600? Justifiez votre réponse.

C/ En partant de 0 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 5 727? Justifiez votre réponse.

2/D'une façon générale, si a et b sont 2 entiers naturels donnés (a supérieur à b), indiquez un procédé général et rapide permettant de prévoir s'il est possible d'atteindre b à partir de a en comptant de 23 en 23.

3/ Quel est le plus petit entier naturel à partir duquel, en comptant de 23 en 23, on peut atteindre 31600?

Justifiez votre réponse.

La suite plus tard, si vous le souhaitez...

[mistinguette28]

si ça vous intéresse, je pourrai y ajouter les questions complémentaires...

1/A/ En partant de 17 584 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 17 692? Justifiez votre réponse.

B/ En partant de 2 197 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 31 600? Justifiez votre réponse.

C/ En partant de 0 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 5 727? Justifiez votre réponse.

2/D'une façon générale, si a et b sont 2 entiers naturels donnés (a supérieur à b), indiquez un procédé général et rapide permettant de prévoir s'il est possible d'atteindre b à partir de a en comptant de 23 en 23.

3/ Quel est le plus petit entier naturel à partir duquel, en comptant de 23 en 23, on peut atteindre 31600?

Justifiez votre réponse.

La suite plus tard, si vous le souhaitez...

1/A/ 17 692-17 584=108. 108 n'est pas divisible par 23 donc c'est impossible.

B/ 31 600-2 197=29 403. non divisible par 23 donc impossible.

C/ 5 727 est divisible par 23 donc c'est possible.

2/ si (b-a) est divisible par 23 alors c'est possible.

3/ soit x le nb cherché

alors 31 600-x=23k (k entier naturel)

d'où 31 600=23k+x

ce qui revient a chercher le reste de la division euclidienne de 31 600 par 23 soit 21.

pour la question 3 je ne suis pas sure a 100%.

[Aspidistra]

si ça vous intéresse, je pourrai y ajouter les questions complémentaires...

1/A/ En partant de 17 584 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 17 692? Justifiez votre réponse.

B/ En partant de 2 197 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 31 600? Justifiez votre réponse.

C/ En partant de 0 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 5 727? Justifiez votre réponse.

2/D'une façon générale, si a et b sont 2 entiers naturels donnés (a supérieur à b), indiquez un procédé général et rapide permettant de prévoir s'il est possible d'atteindre b à partir de a en comptant de 23 en 23.

3/ Quel est le plus petit entier naturel à partir duquel, en comptant de 23 en 23, on peut atteindre 31600?

Justifiez votre réponse.

La suite plus tard, si vous le souhaitez...

1/A/ 17584=23*764+12

17692=23*769+5

Donc 17692=23*764+23*5+12-7

soit 17692=17584+23*5-7

Donc on ne peut arriver à 17692 en comptant de 23 en 23 à partir de 17584... On peut le vérifier rapidement par des valeurs numériques

1/B/ 2197=23*95 +12

31600=1373*23 + 21

Les divisions euclidiennes n'ont pas même reste donc encore une fois non...

1/C/ 5727=23*249 Donc oui si on compte de 23 en 23 on pourra obtenir le nombre 5727

2/ 2 possibilités

soit la différence entre a et b est multiple de 23

soit leur reste dans la division euclidienne par 23 est le même

3/ 31600=1373*23+21

Donc si on commence à compter à partir de 21 on obtient

21=0*23+21

21+23 =1*23+21

21+2*23=2*23+21

....

21+23*1373=1373*23+21=31600 donc si on commence à compter de 23 en 23 à partir de 21 on obtiendra 31600

et oui la partie complémentaire m'interesse

Modifié 18 février 2008 par Aspidistra

[mistinguette28]

3/ 31600=1373*23+21

Donc si on commence à compter à partir de 21 on obtient

21=0*23+2

21+23 =1*23+2

21+2*23=2*23+2

....

21+23*1373=1373*23+21=31600 donc si on commence à compter de 23 en 23 à partir de 21 on obtiendra 31600

et oui la partie complémentaire m'interesse

effectivement je me suis compliquée la vie sur cette question pour me tromper en plus...

cela dit je ne comprends pas tes opérations intermédiaires (les égalités que tu as écrites sont fausses)

[Dominique]

2/ 2 possibilités

soit la différence entre a et b est multiple de 23

soit leur reste dans la division euclidienne par 23 est le même

La première condition est suffisante (la deuxième est équivalente à la première).

3/ 31600=1373*23+21

Donc si on commence à compter à partir de 21 on obtient

21=0*23+2

21+23 =1*23+2

21+2*23=2*23+2

....

21+23*1373=1373*23+21=31600 donc si on commence à compter de 23 en 23 à partir de 21 on obtiendra 31600

Je ne comprends pas ce que tu as écrit. Toutes les égalités en rouge sont fausses.

On peut rédiger ainsi :

On cherche le plus petit entier naturel n tel que 31 600 - n = k × 23 (avec k entier naturel).

On cherche donc le plus petit entier naturel n tel que n = 31 600 - k × 23.

Le plus grand multiple de 23 inférieur ou égal à 31600 est égal à 1 373 × 23 (1 373 est le quotient dans la division euclidienne de 31 600 par 23).

Donc le nombre n cherché vaut 31 600 - 1373 x 23 soit 21.

[mistinguette28]

ca y est j'ai trouvé ou j'avais fait une erreur (en plus c'était une erreur stupide )

[Aspidistra]

Mea culpa c'est une erreur dans ma rédaction (en fai tj'étais partie sur 2 au lieu de 21 et j'ai oublié de modifier mon égalité, ce que je fais de suite pourq ue personne en soit induit en erreur)

[Doca]

Voici donc la suite

4/ Un enseignant de CM2 a donné à chacun de ses élèves l'un des 3 exercices suivants:

a/ on compte de 23 en 23: en partant de 17584, est-il possible d'atteindre le nombre de 17692?

b/on compte de 23 en 23: en partant de 2197, est-il possible d'atteindre le nombre 31600?

c/ on compte de 23 en 23: en partant de 0, est-il possible d'atteindre le nombre 5727?

Il a constaté que les procédures utilisées par les élèves ayant obtenu rapidement des réponses correctes étaient significativement différentes selon l'exercice traité.

Expliquez pourquoi ces différence étaient prévisibles.

(la suite demain)

[Aspidistra]

Voici donc la suite

4/ Un enseignant de CM2 a donné à chacun de ses élèves l'un des 3 exercices suivants:

a/ on compte de 23 en 23: en partant de 17584, est-il possible d'atteindre le nombre de 17692?

b/on compte de 23 en 23: en partant de 2197, est-il possible d'atteindre le nombre 31600?

c/ on compte de 23 en 23: en partant de 0, est-il possible d'atteindre le nombre 5727?

Il a constaté que les procédures utilisées par les élèves ayant obtenu rapidement des réponses correctes étaient significativement différentes selon l'exercice traité.

Expliquez pourquoi ces différence étaient prévisibles.

(la suite demain)

Les procédures seront différentes car tout en portant sur un même domaine apparent: le comptage de 23 en 23, les nombres en jeu (soit les variables didactiques), leurs écarts respectifs, sont différents.

Ainsi, par exemple, pour le a/ un élève peut trouver un résultat par calcul successif : 17584+23=17607; 17607+23=17630 et ainsi de suite.. Les calculs sont restreints en nombre et cette procédure d'addition successive est donc efficace.

Par contre pour le b et le c cette procédure ne sera pas applicable.

Faut-il développer plus et détailler chaque procédure?

[Dominique]

Les procédures seront différentes car tout en portant sur un même domaine apparent: le comptage de 23 en 23, les nombres en jeu (soit les variables didactiques), leurs écarts respectifs, sont différents.

Ainsi, par exemple, pour le a/ un élève peut trouver un résultat par calcul successif : 17584+23=17607; 17607+23=17630 et ainsi de suite.. Les calculs sont restreints en nombre et cette procédure d'addition successive est donc efficace.

Par contre pour le b et le c cette procédure ne sera pas applicable.

Faut-il développer plus et détailler chaque procédure?

D'acord avec ce que tu as écrit.

Je pense qu'on peut ajouter que :

- pour le b et le c, l'élève peut travailler par "sauts successifs" (il additionne un certain nombre de fois 23, par exemple 10 fois ou 100 fois 23)

- pour le c, il n'est pas impossible que certains élèves remarquent qu'il tombent uniquement sur des multiples de 23, qu'il fasse le lien avec la division et qu'ils recherchent si 5727 est multiple de 23 en utilisant la division euclidienne (il est beaucoup moins "évident" de faire le lien avec la division euclidienne pour le b car il est moins "évident" de s'intéresser à l'écart entre 2197 et 31 600 ; de plus, pour la division euclidienne, on a un dividende ayant cinq chiffres alors que, dans le programme du cycle 3, on se limite a des dividendes ayant au plus quatre chiffres).

[Doca]

Dès que j'ai la correction en main, je rajouterai les précisions éventuelles.

Si ça vous dit toujours, voici la suite et la fin de cet exercice:

1/ Maud, Cyril et Magali participent à un jeu. Ils ont chacun une étiquette avec une consigne.

Maud: départ: 17 425. Compte de 100 en 100 dans l'ordre croissant.

Cyril: départ: 18 124. Compte de 10 en 10 dans l'ordre croissant.

Magali: départ: 18542. Compte de 5 en 5 dans l'ordre croissant

Il y a ensuite 6 étiquettes "arrivée"; chaque joueur doit trouver parmi ces étiquettes le nombre auquel il va arriver.

18 427 18214 27303 18587 18325 10325

Peux-tu trouver l'étiquette "arrivée" de Maud, de Cyril et de Magali?

a- Quels sont les éléments mathématiques communs entre cet exercice et ceux de la question précédente?

b- Quelle est la variable essentielle qui permet de donner cet exercice à des élèves dès le CE2?

c- Proposez, pour chaque problème posé aux personnages (Maud, Cyril et Magali) une procédure autre que celle qui correspond à la consigne et qui permettrait à des élèves de CE2 de déterminer dans chaque cas, de façon rapide, l'étiquette "arrivée".

[Aspidistra]

Dès que j'ai la correction en main, je rajouterai les précisions éventuelles.

Si ça vous dit toujours, voici la suite et la fin de cet exercice:

1/ Maud, Cyril et Magali participent à un jeu. Ils ont chacun une étiquette avec une consigne.

Maud: départ: 17 425. Compte de 100 en 100 dans l'ordre croissant.

Cyril: départ: 18 124. Compte de 10 en 10 dans l'ordre croissant.

Magali: départ: 18542. Compte de 5 en 5 dans l'ordre croissant

Il y a ensuite 6 étiquettes "arrivée"; chaque joueur doit trouver parmi ces étiquettes le nombre auquel il va arriver.

18 427 18214 27303 18587 18325 10325

Peux-tu trouver l'étiquette "arrivée" de Maud, de Cyril et de Magali?

a- Quels sont les éléments mathématiques communs entre cet exercice et ceux de la question précédente?

b- Quelle est la variable essentielle qui permet de donner cet exercice à des élèves dès le CE2?

c- Proposez, pour chaque problème posé aux personnages (Maud, Cyril et Magali) une procédure autre que celle qui correspond à la consigne et qui permettrait à des élèves de CE2 de déterminer dans chaque cas, de façon rapide, l'étiquette "arrivée".

a- Les éléments communs sont le comptage avec un écart donné, à partir d'un départ donné, afin de trouver un nombre arrivée (mm c'est pas très mathématique ni clair tout ça) Donc l'énoncé et le champ d'applicaiton du problème sont les mêmes que précédemment mais un variable didactique essentielle (nombres) est différente.

b- Les variables didactiques: nombres sont ici très différents que dans les questions précédentes. ils sont ici 5,10 et 100 soient des nombres usuels pour des enfants de CE2 qui ont été amenés à travailler et à maitriser ces nombres.

c-

Maud 17425. Maud peut vite comprendre (à partir des premiers calculs ou en se basant sur ses connaissances) que le nombre auquel elle doit aboutir aura 2 dizaines et 5 unités. Elle peut donc chercher quel nombre se termine par 25 : IL s'agit des nombres 18325 et 10325. Elle sait qu'elle doit compter à partir de 17425 donc que le nombre arrivé sera plus grand que 17425, il s'agit donc de 18325.

Cyril compte de 10 en 10, il va vite se rendred compte (à partir des premiers calculs ou en se basant sur ses connaissances) que le nombre recherché aura 4 comme chiffre des unités. Il s'agit donc du nombre 18214. (et il vérifie bien que 18214 est plus grand que 18124)

Magali compte de 5 en 5 à partir de 18542. A partir des premiers calculs ou par connaissance elle va pouvoir se rendre compte que le chiffre des unités du nombre recherché sera 2 ou 7. 18427 ou 18587 remplissent cette condition, mais seul 18587 est supérieur à 18542, c'est donc le nombre recherché par Magali.

Ainsi les enfants peuvent appliquer des procédures relatives à leur connaissance sur les nombres et aux sommes de ce snombres connus que sont 5, 10 et 100 sans décompter comme demandé dans l'énoncé.

Bon je ne suis pas bien sure de ma rédaction mais ça fat du bien de s'entrainer sue ces questions où justement si on "voit" les choses souvent (et encore pas toujours) la rédaction elle n'est pas aisée.

Merci Doca! Et merci à Dominique pour son apport professionel!