calculs de longueurs d'un triangle équilatéral

[angelf]

Bonjour,

Je bloque sur le début d'un exercice (ça commence bien !). Voici des éléments pour planter le décor :

BCD est un triangle équilatéral tel que CD = 6cm et O est le centre de son cercle circonscrit.

On me demande de calculer la longueur d'un segment [bO].

Comme BCD est équilatéral, on sait donc que :

CB = CD = BD = 6 cm,

ses angles sont égaux à 60°,

médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices sont confondues.

D'après Pythagore, la hauteur d'un triangle équilatéral de côté "a" (soit 6 cm) = aV3 / 2 (lire "a" racine de 3, le tout divisé par 2)

=> h = 6V3 / 2

=> h = 3V3

Ensuite, je me sers de la propriété de la médiane : "3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Ce centre est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet" et j'applique :

3V3 * 2/3 = je crois que je m'égare là

quelqu'un pour me guider svp ?

[Dominique]

Bonjour,

Je bloque sur le début d'un exercice (ça commence bien !). Voici des éléments pour planter le décor :

BCD est un triangle équilatéral tel que CD = 6cm et O est le centre de son cercle circonscrit.

On me demande de calculer la longueur d'un segment [bO].

Comme BCD est équilatéral, on sait donc que :

CB = CD = BD = 6 cm,

ses angles sont égaux à 60°,

médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices sont confondues.

D'après Pythagore, la hauteur d'un triangle équilatéral de côté "a" (soit 6 cm) = aV3 / 2 (lire "a" racine de 3, le tout divisé par 2)

=> h = 6V3 / 2

=> h = 3V3

Ensuite, je me sers de la propriété de la médiane : "3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Ce centre est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet" et j'applique :

3V3 * 2/3 = je crois que je m'égare là

quelqu'un pour me guider svp ?

Tu ne t'égares pas car dans un triangle équilatéral les médiatrices sont aussi les médianes et le centre du cercle circonscrit au triangle est donc confondu avec le centre de gravité de ce triangle.

Tout ce que tu as écrit est exact et on trouve bien BO = 2/3 × 3rac (3) = 2/rac(3) = 2rac(3) (message rectifié le 7 mars 2008)

[angelf]

Moi qui désespérais ...quelle bonne nouvelle ! Merci Dominique.

Par contre, comme je n'étais pas certaine de moi, j'ai testé une autre méthode en utilisant Pythagore mais je ne trouve pas tout à fait le même résultat !

Voici donc :

On conait la longueur d'une arête : CD = 6 cm

On calcule la longueur d'une médiane en appliquant le théoreme de Pythagore* dans le triangle BCB' (BB' étant la droite issue de B et passant par B' sur la droite (CD); le triangle BCB' est rectangle en B' ) . En effet, on connait les longueurs de l'hypothénuse [bC] = 6 cm, et d'un côté de l'angle droit [CB'] : CB' = CD /2 = 3.

*Puisque B'CB est rectangle en B' alors BC² = B'B²+ B'C² <=> 16² = B'B² + 3² <=> B'B² = 45 (ou 5rac3)

Le centre O étant situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet, on a : BO = 2/3 BB' <=> BO = 2/3 * 5rac3

?????

[Dominique]

Puisque B'CB est rectangle en B' alors BC² = B'B²+ B'C² <=> 16² = B'B² + 3² <=> B'B² = 45 (ou 5rac3)

En fait c'est 6² = B'B² + 3² mais je ne crois pas que ton erreur vienne de là car tu sembles bien avoir fait le calcul avec 6².

Je pense que tu as calculé B'B² en disant que ça valait 6² + 3² . Or on a 6² = B'B² + 3² donc B'B² = 6² - 3² = 27.

On retrouve : B'B = rac(27) = 3rac(3).

Remarque : n'écrit pas B'B² = 45 (ou 5rac3) ; il convient d'écrire B'B² = 45 soit B'B = 5rac(3) (ne pas confondre B'B² et B'B).

[angelf]

Effectivement, grosses fautes d'inattention de ma part !

Merci encore Dominique

[angelf]

Bonjour,

Je bloque sur le début d'un exercice (ça commence bien !). Voici des éléments pour planter le décor :

BCD est un triangle équilatéral tel que CD = 6cm et O est le centre de son cercle circonscrit.

On me demande de calculer la longueur d'un segment [bO].

Comme BCD est équilatéral, on sait donc que :

CB = CD = BD = 6 cm,

ses angles sont égaux à 60°,

médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices sont confondues.

D'après Pythagore, la hauteur d'un triangle équilatéral de côté "a" (soit 6 cm) = aV3 / 2 (lire "a" racine de 3, le tout divisé par 2)

=> h = 6V3 / 2

=> h = 3V3

Ensuite, je me sers de la propriété de la médiane : "3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Ce centre est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet" et j'applique :

3V3 * 2/3 = je crois que je m'égare là

quelqu'un pour me guider svp ?

Tu ne t'égares pas car dans un triangle équilatéral les médiatrices sont aussi les médianes et le centre du cercle circonscrit au triangle est donc confondu avec le centre de gravité de ce triangle.

Tout ce que tu as écrit est exact et on trouve bien BO = 2/3 × 3rac (3) = 2/rac(3).

j'ai un souci avec ce que j'ai repris en bleu :

en vérifiant, je trouve 2rac(3) comme résultat et non 2 / rac(3)

car 3rac(3) * 2/3 = 6rac(3) / 3 = 2rac(3), non ?

[Dominique]

Tout ce que tu as écrit est exact et on trouve bien BO = 2/3 × 3rac (3) = 2/rac(3).

j'ai un souci avec ce que j'ai repris en bleu :

en vérifiant, je trouve 2rac(3) comme résultat et non 2 / rac(3)

car 3rac(3) * 2/3 = 6rac(3) / 3 = 2rac(3), non ?

Je comprends que tu aies un souci.

Effectivement on a bien sûr : 2/3 × 3rac (3) = 2rac(3)

Désolé pour l'erreur ...

[angelf]

ouf ! ça va mieux maintenant

[doudou]

Tout ce que tu as écrit est exact et on trouve bien BO = 2/3 × 3rac (3) = 2/rac(3).

j'ai un souci avec ce que j'ai repris en bleu :

en vérifiant, je trouve 2rac(3) comme résultat et non 2 / rac(3)

car 3rac(3) * 2/3 = 6rac(3) / 3 = 2rac(3), non ?

Je comprends que tu aies un souci.

Effectivement on a bien sûr : 2/3 × 3rac (3) = 2rac(3)

Désolé pour l'erreur ...

Ah ça me rassure

[doudou]

Tout ce que tu as écrit est exact et on trouve bien BO = 2/3 × 3rac (3) = 2/rac(3).

j'ai un souci avec ce que j'ai repris en bleu :

en vérifiant, je trouve 2rac(3) comme résultat et non 2 / rac(3)

car 3rac(3) * 2/3 = 6rac(3) / 3 = 2rac(3), non ?

Je comprends que tu aies un souci.

Effectivement on a bien sûr : 2/3 × 3rac (3) = 2rac(3)

Désolé pour l'erreur ...

Ah ça me rassure

[doudou]

Tout ce que tu as écrit est exact et on trouve bien BO = 2/3 × 3rac (3) = 2/rac(3).

j'ai un souci avec ce que j'ai repris en bleu :

en vérifiant, je trouve 2rac(3) comme résultat et non 2 / rac(3)

car 3rac(3) * 2/3 = 6rac(3) / 3 = 2rac(3), non ?

Je comprends que tu aies un souci.

Effectivement on a bien sûr : 2/3 × 3rac (3) = 2rac(3)

Désolé pour l'erreur ...

Ah ça me rassure