Fonctions

[agnesm]

Bonjour à tous,

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur l'exo suivant ... ?

Dans un repère orthonormal du plan, on considère le point A (3,1) et la droite d'équation y=2x.

1) Soit M le point d'abscisse x appartenant à la droite d. Exprimer en fonction de x.

2) Déterminer la valeur de x pour laquelle est minimale. Que vaut ce minimum ?

Merci à tous de votre aide et bon dimanche !

Agnès

[juliehouze]

1 . Calcul de distance AM² :

La formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé est :

AM²=(x_M-x_A)²+(y_M-y_A)²

Je remplace parles coordonnées des points A(3,1) et M(x,2x) puisque M appartient à la droite d'équation y=2x

AM²= (x-3)²+(2x-1)²

Je te laisse continuer mais cela me paraît un peu compliqué pour un sujet de concours...

[Carole06]

2) Déterminer la valeur de x pour laquelle est minimale. Que vaut ce minimum ?

Je n'ai pas encore revu les fonctions ( ) donc je fais avec ce que je sais et ce n'est certainement pas académique.

AM² est une distance donc elle est supérieure ou égale à zéro (pour être égale à zéro, les points A et M seraient confondus).

on a AM² = (x-3)²+(2x-1)²

d'où si on prend x-3 = 0, on élimine un membre:

avec x=3:

(3-3)² + (6-1)² = 5² = 25

AM² = 25

Mais je ne suis moi-même pas convaincue...

édit: J'ai barré mon raisonnement qui était faux.

[Dominique]

on a AM² = (x-3)²+(2x-1)²

d'où si on prend x-3 = 0, on élimine un membre:

avec x=3:

(3-3)² + (6-1)² = 5² = 25

AM² = 25

Mais je ne suis moi-même pas convaincue...

Non, (x-3)²+(2x-1)² n'est pas minimal quand x = 3.

Remarque préalable : cet exercice n'est pas, je pense, extrait d'un sujet du CRPE et ne me semble pas pouvoir être donné au concours sans indication supplémentaire. Je donne malgré tout une solution possible ci-dessous :

(x-3)²+(2x-1)² = x² - 6x + 9 + 4x² -4x + 1 = 5x² -10x + 10 = 5(x² - 2x + 2)

(x-3)²+(2x-1)² est donc minimal quand x² - 2x + 2 est minimal.

Ensuite soit on connaît des propriétés concernant le trinôme du second degré (qui ne sont pas au programme du CRPE) soit on utilise une "astuce" qui, de mon point de vue, devrait être donnée dans un énoncé de sujet de CRPE. Voici cette "astuce" :

x² - 2x + 2 = x² - 2x + 1 - 1 + 2 = (x - 1)² + 1

On peut alors conclure :

1 est un nombre positif et (x - 1)² est un nombre positif ou nul donc (x - 1)² + 1 est minimal lorsque (x - 1)² = 0 donc lorsque x = 1.

AM² est donc minimal quand x = 1 et ce minimum vaut 5(1² - 2 × 1 + 2) c'est-à-dire 5.

[Carole06]

Non, (x-3)²+(2x-1)² n'est pas minimal quand x = 3.

Remarque préalable : cet exercice n'est pas, je pense, extrait d'un sujet du CRPE et ne me semble pas pouvoir être donné au concours sans indication supplémentaire. Je donne malgré tout une solution possible ci-dessous :

(x-3)²+(2x-1)² = x² - 6x + 9 + 4x² -4x + 1 = 5x² -10x + 10 = 5(x² - 2x + 2)

(x-3)²+(2x-1)² est donc minimal quand x² - 2x + 2 est minimal.

Ensuite soit on connaît des propriétés concernant le trinôme du second degré (qui ne sont pas au programme du CRPE) soit on utilise une "astuce" qui, de mon point de vue, devrait être donnée dans un énoncé de sujet de CRPE. Voici cette "astuce" :

x² - 2x + 2 = x² - 2x + 1 - 1 + 2 = (x - 1)² + 1

On peut alors conclure :

1 est un nombre positif et (x - 1)² est un nombre positif ou nul donc (x - 1)² + 1 est minimal lorsque (x - 1)² = 0 donc lorsque x = 1.

AM² est donc minimal quand x = 1 et ce minimum vaut 5(1² - 2 × 1 + 2) c'est-à-dire 5.

Oups, désolée de mon erreur!

J'avais essayé avec le delta mais je ne sais pas, j'ai du faire une fausse manipulation, j'arrivais à un delta négatif... Et puis, je me suis dit qu'on devrait arriver à le résoudre autrement, d'où ma tentative.

Dominique, peux-tu (pour que je puisse voir où j'ai fait une faute) m'indiquer le résultat en utilisant le delta? Ou n'était-ce pas possible dans ce cas-là??

En tout cas, c'est vrai ue cela demandait pas mal de gymnastique pour un exercice du concours (enfin, j'espère!).

[Dominique]

Dominique, peux-tu (pour que je puisse voir où j'ai fait une faute) m'indiquer le résultat en utilisant le delta?

Le discriminant de x² -2x + 2 est effectivement négatif ce qui prouve que l'équation x² -2x + 2 = 0 n'admet pas de solution autrement dit que la parabole d'équation y = x² -2x + 2 ne coupe pas l'axe des x. Mais ce n'est pas ce qui nous intéresse ici.

En fait, il faut savoir que, quand a est positif, l'expression ax² + bx + c admet un minimum pour x = - b/(2a).

On conclut donc immédiatement que :

x² -2x + 2 est minimal lorsque x = - (-2)/(2a) c'est-à-dire lorsque x = 1.

Remarques :

Si a est négatif l'expression ax² + bx + c admet un maximum pour x = - b/(2a)

-b/(2a) est l'abscisse du sommet de la parabole d'équation y = ax² + bx + c (ce sommet est le point "le plus bas" de la parabole si a est positif et le point "le plus haut" de la parabole si a est négatif car la parabole est "tournée dans un sens ou dans l'autre" selon que a est positif ou négatif).

[Carole06]

Le discriminant de x² -2x + 2 est effectivement négatif ce qui prouve que l'équation x² -2x + 2 = 0 n'admet pas de solution autrement dit que la parabole d'équation y = x² -2x + 2 ne coupe pas l'axe des x. Mais ce n'est pas ce qui nous intéresse ici.

En fait, il faut savoir que, quand a est positif, l'expression ax² + bx + c admet un minimum pour x = - b/(2a).

On conclut donc immédiatement que :

x² -2x + 2 est minimal lorsque x = - (-2)/(2a) c'est-à-dire lorsque x = 1.

Remarques :

Si a est négatif l'expression ax² + bx + c admet un maximum pour x = - b/(2a)

-b/(2a) est l'abscisse du sommet de la parabole d'équation y = ax² + bx + c (ce sommet est le point "le plus bas" de la parabole si a est positif et le point "le plus haut" de la parabole si a est négatif car la parabole est "tournée dans un sens ou dans l'autre" selon que a est positif ou négatif).

Je te remercie, Dominique! Penses-tu que l'on puisse être pénalisé(e) en utilisant des propriétés de la sorte? ( etc.)

[Dominique]

Je te remercie, Dominique! Penses-tu que l'on puisse être pénalisé(e) en utilisant des propriétés de la sorte? ( etc.)

Pour ce qui est des exercices de "maths pures", on peut, de mon point de vue, utiliser toutes les connaissances que l'on a en mathématiques.

[agnesm]

Un grand merci à Dominique pour ses précieuses explications

Cela me semble également bien compliqué dans le cadre du CRPE. C'est un exercice tiré de ma planche de TD pour les fonctions.

Merci encore pour votre aide à tous !

Agnès

[juliehouze]

Une autre méthode pour trouver la distance minimale : il faut que M appartienne à la droite passant par A perpendiculaire à la droite d'équation y=2x.

Pour trouver l'équation de cette droite, j'utilise la propriété suivante : quand deux droites sont perpendiculaire le produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.

J'ai donc :

y=2x

y=mx+p (équation de la droite perpendiculaire)

2*m = -1

m=-1/2

Cette droite passe par A donc

y_A=mx_A+p

Je remplace par les coordonnées de A

L'équation de la droite est donc y=-1/2x+5/2

2

Je cherche à présent les coordonnées de M qui se trouve à l'intersection de deux droites.

y=2x

y=-1/2x+5/2

2x=-1/2x+5/2

5x/2=5/2

x=1

y=2

Je calcule à présent AM²

AM²=(x_M-x_A)²+(y_M-y_A)²

AM² = (1-3)²+(2-1)² = 4+1=5