Problème de trains qui se croisent

[estopa57]

Bonjour,

voila je vous propose un exo de maths sur les vitesses:

Deux gares A et B sont reliées par une ligne de chemin de fer qui fonctionne 24 heures sur 24.

A chaque heure entière un train part de la gare A vers B.

A chaque heure entière plus dix minutes, un train part de la gare B vers A.

Pour simplifier le raisonnement, on supposera que les trains roulent à la même vitesse et que cette vitesse est constante.

Paul part de la gare A à 9 heures.

1)a) si le trajet pour aller de A à B (ou de B vers A) dure 6 heures, combien Paul va-t-il croiser de trains venant de B?

b) Durant ces 6 heures, combien de croisements de trains se seront produits?

2)a) Même question que 1)a) mais le trajet dure n heures (n étant un entier naturel non nul)

b) Même question que 1)b), mais le trajet dure n heures (n étant un entier naturel non nul)

Réponse:

J'ai trouvé pour la question 1)a) que Paul croisera 12 trains. Il faut compter les trains partis après 9h de B (c'est-à-dire 9h10, 10h10..) plus les trains partis avant 9h de B (c'est-à dire ceux qui vont arriver au plus tot à 9h10 avec donc un départ à 3h10)

Mais après pour la question b) .... pour la question 2 j'en parle meme pas!

[orion144]

Je vais tenter une réponse, mais ce serait bien que Dominique passe par là !

Pour la question 1 : le trajet dure 6 h donc un départ à 9 h pour une arrivée à 15 h.

Regardons quelles sont les heures d'arrivées à la Gare A des trains partant de B qui ont pu croiser ce train venant de A :

9h10- 10h20-11h30-12h40-13h50-15h (pour cet horaire, le train est parti de B à 9h) Cela fait 6 trains de croisés.

Il faut rajouter les trains qui partent de B à 10h10-11h20-12h30-13h40-14h50. Cela fait 5 trains supplémentaires.

Donc au total 11 trains ont croisé le train A.

Pour la question 1b :

En 6 heures de temps, un train venant de A croise 11 trains venant de B.

1 train partant 1 heure plus tard (à10h) croise 10 trains.

2 heures après le premier train (départ à 11h), un train de A croise 9 trains

3 heures plus tard, le train partant à 12 h croise 8 trains

4 heures plus tard, le train partant à 13h croise 7 trains

le train partant à 14h en croise 6

Soit 11+10+9+8+7+6 = 51 croisements.

Question 2a

Toutes les 7 heures, on compte un départ en moins de la gare B par rapport à la gare de A.

Si n est compris entre 1 et 6, le nombre de trains que croise A est 2n-1,

si n est compris entre 7 et 13, c'est 2n-2; n entre 14 et 20, 2n-3 trains sont croisés...

Question 2b :

pour n compris entre 1 et 6 je dirais que le nombre de croisements est donné par :

2n-1+2n-2+2n-3+...+2n-n+1 = nx(2n)-(1+2+3+...+n-1)=2n²-(1+2+3+...+n-1)

pour n compris entre 7 et 13, il faut enlever n à la relation précédente, car elle est composée de n termes et il faut diminuer chaque terme de 1.

...etc

[linette78]

Je vais tenter une réponse, mais ce serait bien que Dominique passe par là !

Pour la question 1 : le trajet dure 6 h donc un départ à 9 h pour une arrivée à 15 h.

Regardons quelles sont les heures d'arrivées à la Gare A des trains partant de B qui ont pu croiser ce train venant de A :

9h10- 10h20-11h30-12h40-13h50-15h (pour cet horaire, le train est parti de B à 9h) Cela fait 6 trains de croisés.

Il faut rajouter les trains qui partent de B à 10h10-11h20-12h30-13h40-14h50. Cela fait 5 trains supplémentaires.

Donc au total 11 trains ont croisé le train A.

Pour la question 1b :

En 6 heures de temps, un train venant de A croise 11 trains venant de B.

1 train partant 1 heure plus tard (à10h) croise 10 trains.

2 heures après le premier train (départ à 11h), un train de A croise 9 trains

3 heures plus tard, le train partant à 12 h croise 8 trains

4 heures plus tard, le train partant à 13h croise 7 trains

le train partant à 14h en croise 6

Soit 11+10+9+8+7+6 = 51 croisements.

Question 2a

Toutes les 7 heures, on compte un départ en moins de la gare B par rapport à la gare de A.

Si n est compris entre 1 et 6, le nombre de trains que croise A est 2n-1,

si n est compris entre 7 et 13, c'est 2n-2; n entre 14 et 20, 2n-3 trains sont croisés...

Question 2b :

pour n compris entre 1 et 6 je dirais que le nombre de croisements est donné par :

2n-1+2n-2+2n-3+...+2n-n+1 = nx(2n)-(1+2+3+...+n-1)=2n²-(1+2+3+...+n-1)

pour n compris entre 7 et 13, il faut enlever n à la relation précédente, car elle est composée de n termes et il faut diminuer chaque terme de 1.

...etc

Salut,

J'ai interprété l'énoncé "un train part à chaque heure et 10 minutes" au sens qu'un train part aux 10min de chaque heure ( càd 9h10, 10h10...).

Du coup, je dirais pour la réponse 1-a) que Paul va croiser 12 trains... (les trains partis de B entre 3h10 et 14h10).

Cela doit avoir (à mon très humble avis) une incidence sur le reste de tes réponses (qui sont d'ailleurs d'une très grande qualité), non?

Maintenant, faut que je me penche sur le reste du problème... c'est pas gagné!

[orion144]

Salut,

J'ai interprété l'énoncé "un train part à chaque heure et 10 minutes" au sens qu'un train part aux 10min de chaque heure ( càd 9h10, 10h10...).

Du coup, je dirais pour la réponse 1-a) que Paul va croiser 12 trains... (les trains partis de B entre 3h10 et 14h10).

Cela doit avoir (à mon très humble avis) une incidence sur le reste de tes réponses (qui sont d'ailleurs d'une très grande qualité), non?

Maintenant, faut que je me penche sur le reste du problème... c'est pas gagné!

Ah oui, effectivement, je ne l'avais pas compris comme cela, ça devrait simplifier.

[doucefeuille]

Pfiou, j'ai du mal à rédiger et je sais même pas si mon raisonement est juste...

Le train qui est parti en A à 9h arrivera à 15h en B puisque son trajet dure 6h

Durant ce laps de temps il va croisser les trains qui sont partis durant les 6h précédants son propre départ et les trains qui sont partis jusqu'à son arrivée.

Donc il va croisser les trains qui sont partis entre 3h et 15h.

Ce qui fait 12 trains, vu qu'un train prends le départ par heure.

Pour le nombre total de croisement de train durant ce laps de temps.

On sait déjà que il y aura les 12 trains qui sont partis de B entre 3h et 15h qui seront sur les voies entre 9h et 15h.

Il en va de même pour les trains partis de A.

Si le trajet avait duré n heures

Paul aurait croisé les n trains partis durant les n heures de son trajet et les n trains partis dans les n heures précédant son départ.

Soit 2n trains croisés

[edit] j'efface le mauvais raisonement

[Dominique]

Ce problème a été donné en Guyane (en 2003 sauf erreur de ma part).

Comme les annales de la COPIRELEM de l'époque ne sont plus en vente, je me permets de donner la solution qu'on trouvait dans les annales COPIRELEM :

corrige1.pdf (début de la proposition de corrigé ; suite dans le message suivant)

Remarque : pour commander les annales de la COPIRELEM 2007, voir http://pernoux.perso.orange.fr/COPIRELEM2007.pdf

[Dominique]

Suite :

corrige2.pdf

[orion144]

j'avais pas vu que dominique avait répondu pendant que je faisais une réponse.

alors j'efface tout, ça évite le ridicule !

[estopa57]

Merci à tous pour vos réponses! merci à dominique pour le corrigé! effectivement c'est le sujet de guyane 2003!

Ensemble, on va y arriver!!!