pour les amateurs de numeration division

[j'y crois]

un petit sujet donné au concours il y a 6 ans et que j'ai fait aujourd'hui...

* Ecrire 1001 sous la forme d'un produit de 3 nombres entiers différents de 1.

* Trouver tous les diviseurs de 1001.

* Soit le nombre 712 712. La division euclidienne de 712 712 par 13 donne un quotient q1 et un reste r1. La division euclidienne de q1 par 11 donne un quotient q2 et un reste r2. La division euclidienne de q2 par 7 donne un quotient q3 et un reste r3.

- Le dernier quotient obtenu q3 était-il prévisible ?

- Les restes r1 r2, r3 étaient-ils prévisibles ?

* Soit un nombre qui s'écrit sous la forme abcabc où a, b et c sont choisis parmi les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.

Quelle(s) condition(s) éventuelle(s) doivent vérifier a, b et c pour que le nombre abcabc soit :

- un multiple de 7 ?

- multiple de 13 ?

- un multiple de 65 ?

- un multiple de 14 ?

- un multiple de 63 ?

* Sans faire de division, montrer que le nombre 465 549 :

- a même reste que (549 - 465) dans la division euclidienne par 13.

- est divisible par 7.

bonne recherche...

[Hubert]

*

1001 = 7 x 11 x 13

*

Les diviseurs de 1001 : 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001

*

Soit N un nombre quelconque à 3 chiffres. N peut s'écrire sous la forme N = abc, a représente les centaines, b les dizaines, c les unités. On suppose a non nul.

1001N = (1000+1)N = 1000N + N = abcabc

Donc 712 x 1001 = 712712

On peut donc savoir tout de suite que si on divise 712712 par 1001, on va obtenir 712, avec un reste de 0.

Par conséquent, on peut diviser successivement 712712 par 13, puis par 11, puis par 7, tous les restes sont nuls et le quotient final sera 712.

*

N = abcabc

- N est multiple de 1001, donc aussi de 7 et de 13 qui sont des diviseurs de 1001.

- 65 = 5 x 13. Donc N, qui est déjà multiple de 13, est multiple de 65 s'il est aussi multiple de 5, donc si c = 0 ou c = 5

- 14 = 2 x 7. Donc N, qui est déjà multiple de 7, est multiple de 14 s'il est aussi multiple de 2, donc si c est pair

- 63 = 9 x 7. Donc N, qui est déjà multiple de 7, est multiple de 63 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9, donc si a+b+c est divisible par 9

*

-

Soient q et r le quotient et le reste de la division de 465549 par 13 :

465549 = 13q + r

<=> 465549 - 465465 = 13q + r - 465465

<=> 549 - 465 = 13q + r - 465465

Or 465465 est divisible par 13, car de la forme abcabc, et peut donc s'écrire sous la forme 13k.

Donc :

549 - 465 = 13q + r + 13k = 13(q + k) + r

Conclusion : 549 - 465 a aussi un reste de r dans sa division par 13

-

465549 = 465465 + 84

Or 465465 est de la forme abcabc, donc divisible par 7. 84 est multiple de 7, donc 465549 est aussi multiple de 7