Un casse-tete en maths a...

[cilecel]

Oye, j'en ai trouve une bien bonne dans les annales. Du n'importe quoi...

Des campeurs ne disposent que de 2 recipients, l'un de capacite de 7 litres, l'autre de 5 litres.

comment peuvent ils obtenir le litre d'eau necessaire d'une recette de cuisine en puisant dans leur citerne d'eau suppose assez grand?

Pourrait on obtenir 1 litre d'eau avec 2 recepients de 10 et 14 litres?

(1996, limoges)

Typique le genre de trucs qui m'amusent quand je suis peinarde a la maison mais qui pourrait me faire perdre la face le jour du concours...cryin

[Nefer]

soit A: récipent 5L - soit B : récipient 7L

je rempli le B et le transvase ds le A.

Ds le B reste 2 L

Je vide le A, mets les 2 L dedans

je reremplis le B et en transvase ds le A.

j'ajoute donc 3 L au 2 L déjà dedans.

restent 4 L ds mon B

et 5 L ds mon A

je vide le A

je mets les 4 L ds le A

je rereremplis le B

je complète le A avec un peu (1 L) du B :

j'ai A plein

j'ai B ds lequel il reste 6L

je revide le A

je le remplis avec le contenant du B

maintenant ds le B, il reste 1L.

________________________________

Bon, ça marche.

y'a p-ê plus simple ???

Costaud à expliquer le jour du concours un exo pareil...

[cilecel]

Effectivement c'est ca...C'est aussi la solution donnee par les annales. Il etait specifie dans la question qu'on pouvait schematise la solution...C'est plus simple que de tout decrire.

Ca a l'air tout con comme ca...mais tu peux te perdre facilement!

[Hubert]

Pour trouver sans tâtonner trop longtemps :

on continue à appeler B le récipient de 7 litres, et A le récipient de 5 litres.

On va remplir B b fois, et vider A a fois. Le problème revient donc à résoudre l'équation :

7b - 5a = 1

<=> 5a = 7b - 1

7b - 1 doit donc être multiple de 5. Pour quelle valeur de b est-ce possible ? Par exemple, pour b = 3, 7b - 1 = 20 est multiple de 5. Donc a = 4 et b = 3 est solution de l'équation. Il suffit donc de remplir 3 fois B et de vider 4 fois A.

Les contenus des deux récipients sont donc successivement :

B A

0 0

7 0 -> ici, b = 1 (on a rempli une fois B )

2 5

2 0 -> ici, a = 1 (on vient de vider A pour la première fois)

0 2

7 2 -> ici, b = 2

4 5

4 0 -> ici, a = 2

0 4

7 4 -> ici, b = 3

6 5

6 0 -> ici, a = 3

1 5

1 0 -> ici, a = 4

Dès qu'on a b = 3 et a = 4, c'est fini. On a bien 1 litre dans B.

Avec des récipients de 10 et 14 litres, c'est impossible. Pourquoi ? Avec le même raisonnement, il faudrait trouver un couple de solutions de l'équation :

14b - 10a = 1 <=> 10a = 14b - 1

Or 14b est pair, donc 14b - 1 est impair, et ne peut en aucun cas être multiple de 10. Il n'y a donc pas de solution.

De même, il n'y a pas de solution pour 10a - 14b = 1. Donc c'est impossible.

[Nefer]

Bravo Hubert, je crois ke g fini par comprendre.

et avec le même raisonnement, ne peut-on pas faire deux équations, deux inconnues :

7b-5a=1

a=b+1 (car on ne peut vider plus qu'on ne remplit)

et comme a et b doivent être des entiers on voit ke cela ne marche pas pr

14b-10a=1

a=b+1

[Hubert]

Non. Il n'y a aucune raison que a = b + 1. On peut très bien avoir a = b + 2.

Exemple : avec un récipient de 13 litres (B) et un autre de 10 litres (A), on doit résoudre l'équation 13b - 10a = 1 <=> 10a = 13b - 1.

Il suffit de prendre b = 7. Dans ce cas, 13b - 1 = 90, donc a = 9.

Déroule la procédure, tu remplis 7 fois B (chaque fois que B est vide, tu le remplis), tu vides 9 fois A (dès qu'il y a 10 litres dedans, tu vides). Ca marche, et pourtant a n'est pas égal à b + 1, mais à b + 2.

[coralie]

Tu peux nous donner les références du bouquin d'annales où tu as trouvé cet exo STP ?

Juste au cas où je voudrais me torturer l'esprit cryin

[cilecel]

C'est un CD, en fait...Il vient de sortir. C'est tous les sujets de toutes les academies de 1996 a 2000. Autant dire qu'il y en a un paquet. Je ne connais plus les references exactes parce que ce n'est pas moi qui l'ai achete...En tout cas, ca vient d'un crdp.

Ca s'appelle didabase. Je pense que sur le site du CRDP de paris tu le trouveras.

[coralie]

Merci pour l'info

[violaine]

c'est un fan de Tomb raider qui a pondu l'exo ???

j'ai déjà vu un truc comme ça dans le tome 3 ou 4

tu remplis a rabord dans le recipient 5l

tu transvases dans le recipient 7l (donc manque 2l)

tu reremplis à rabord le recipient de 5l, tu completes ton recipient de 7l : il te reste donc 3 l dans ton recipient de 5l

tu vides le recipient de 7l, tu lui mets dedans les 3l du recipient 5l (il en manque donc 4l)

tu remplis encore le recipient 5l a rabord, avec ces 5l tu complètes le recipient 7l, il te reste alors 1 l dans le recipient 5l

Ca sert de jouer aux jeux videos

[cilecel]

Ah ouais, c'est une autre solution qui a l'air plus economique!!

Et celle la, on peut la modeliser, hubert, toi qui a fait math sup? :P Parce que c'est bien pratique ce genre de raisonnement.

A+

[Hubert]

Ben oui, c'est pareil, en partant de l'autre récipient. Si on veut d'abord commencer par remplir le récipient de 5 litres, on cherche à résoudre l'équation :

5a - 7b = 1

<=> 5a = 7b + 1

Il faut donc que 7b + 1 soit multiple de 5. Il suffit par exemple de prendre b = 2. Dans ce cas, 7b + 1 = 15, et donc a = 3.

Conclusion :

on commence par remplir le récipient de 5 litres, et ensuite on transvase et on s'amuse : dès que le récipient de 7 litres est plein, on le vide, dès que le récipient de 5 litres est vide, on le remplit. Il n'y a aucune question à se poser, c'est systématique :

5l 7l

0 0 -> ici, le 5 litres est vide, donc on doit le remplir

5 0 -> ici, a = 1

0 5 -> ici, le 5 litres est vide, donc on doit le remplir

5 5 -> ici, a = 2

3 7 -> ici, le 7 litres est plein, donc on doit le vider

3 0 -> ici, b = 1

0 3 -> ici, le 5 litres est vide, donc on doit le remplir

5 3 -> ici, a = 3

1 7 -> ici, le 7 litres est plein, donc on doit le vider

1 0 -> ici, b = 2

Maintenant, a = 3 et b = 2. Donc c'est fini. Et effectivement, on a bien un litre dans le récipient de 5 litres. Le truc est complètement automatique, ça marche tout seul.