Exo 2 maths

[mena1]

Je viens de commencer le sujet Amiens 2003 et j'y arrive pas, g regardé la correction pa mieux, alors je vous le file et je mettrai la solution plus tard si qqn peut m'expliquer clairement...

a) quels sont les nombres inférieurs à 10 qui possédent exactement 3 diviseurs? Il n'est pas nécessaire de justifer (bon là c bon mais je vois pas le rapport avec le B))

B) "Je suis un nb à 3 chiffres dont la somme vaut 13 et je possède exactement 3 diviseurs. Qui suis-je?"

Trouver ce nb (il est unique), en expliquant la démarche.

Amusez-vous!!!!!!

[Balanina05]

Malheureusement pour toi, je bloque au meme endroit.

Je ne comprends pas la correction.

Qui peut nous éclairer? PLEASE

[Dominique]

Bonjour,

Pour le a ) :

Il suffit de chercher successivement les diviseurs des nombres de 1 à 10. On trouve que seuls les nombres 4 et 9 on exactement trois diviseurs.

Pour le b ) (à mon avis assez étonnant et bien difficile) :

Au a ), on a trouvé que 4 et 9 ont exactement trois diviseurs.

Avec un peu (beaucoup ... ) d'intuition et l'idée que les questions a ) et b ) peuvent avoir un rapport entre elles, on peut revenir sur ce qui a été démontré au a ) et constater que les nombres 4 et 9, qui ont trois diviseurs, sont des carrés de nombres premiers. On peut ensuite se demander si, de façon générale, les carrés des nombres premiers admettent toujours exactement trois diviseurs.

Il est facile de démontrer que c'est bien le cas car les diviseurs de p², avec p premier, sont 1, p et p².

Attention, ceci prouve que les carrés des nombres premiers ont toujours exactement trois diviseurs mais pas que ce sont les seuls nombres qui ont exactement trois diviseurs.

L'énoncé nous dit que le nombre cherché est un nombre à trois chiffres dont la somme vaut 13. On peut donc essayer de voir s'il n'y a pas un carré de nombre premier qui a trois chiffres dont la somme vaut 13. Si on en trouve un, il aura trois diviseurs et, comme l'énoncé nous dit que le nombre cherché est unique, on aura terminé l'exercice.

On cherche donc s'il existe un nombre p² (avec p premier) qui a trois chiffres dont la somme vaut 13.

Comme p² a trois chiffres, il est supérieur ou égal à 100 et donc p est supérieur ou égal à 10.

On calcule donc les carrés des nombres premiers successifs supérieurs à 10 pour voir s'il n'y en a pas un qui a trois chiffres et dont la somme des chiffres vaut 13. Quand on arrive à 29², on trouve 841 qui convient.

Comme l'énoncé affirme qu'il n'y a qu'une seule solution, on peut dire que la solution au problème posé est 841.

Remarque : on peut démontrer (démonstration non faite ici) qu'en fait les seuls nombres admettant exactement trois diviseurs sont les carrés des nombres premiers mais, de mon point de vue, ce n'est pas demandé.

J'ajouterai avec un brin de provocation et en pensant à un autre fil de discussion :

Qui a dit "niveau troisième" ?

[mena1]

c bien ce que j'avais compris masi dans la correction ils disent (et seulement ça) :

"Le nombre cherché ets le carré d'un nombre premier (cf a)). Ce nombre premier est supérieur à 10 et inférieur à racine de 1000

(c là que je comprend pas pourquoi) , donc inférieur ou égal à 31. On essaie successivement tous les nombres premiers compris entre 10 et 31, on toruve 29²=841

Bien joué Dominique!!!

N'empêche que je trouve cet exo super dur surtout qu'il n'est que sur 2 points....

[poup83]

racine de 1000=31.66

comme il faut que ce soit inférieur à rac1000, ça revient au même de dire qu'il faut que ce soit inférieur à 31.

on essaie donc les nbres entre 10 et 31

en espérant que c'est + clair

[mena1]

ouai mais ce que je ne comprend pas ce qu'ils ne disent nulle part que ce nombre doit être inférieur à raccine de 1000....

[Dominique]

ouai mais ce que je ne comprend pas ce qu'ils ne disent nulle part que ce nombre doit être inférieur à raccine de 1000....

Bonjour,

Le nombre cherché s'écrit avec trois chiffres. Il est donc supérieur ou égal à 100 et inférieur à 1000.

On cherche donc un nombre premier p tels que p² soit supérieur ou égal à 100 et inférieur à 1000.

Donc on cherche un nombre premier p supérieur ou égal à rac(100) et inférieur à rac(1000) [rac représentant la racine carrée].

[mena1]

ah oui suis-je bête, je me suis pris la tête et du coup je me suis embrouillée...