Exercice 1 Groupe 3 2008

[Matterhorn]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exercice que j'ai trouvé dans le groupe 3 (concours de cette année). J'ai réussi à faire la figure mais après...

ABC est un triangle dans lequel l’angle de sommet A est aigu.

On considère le cercle de diamètre [bC]. Il coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en

D et E. Les droites (BE) et (CD) se coupent en H.

1) Faire une figure.

2) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

3) Construire sur votre figure, avec la règle non graduée et le compas, le point M, quatrième

sommet du parallélogramme BCMA et le point N, quatrième sommet du

parallélogramme BCAN. On laissera les traits de construction apparents.

4) Démontrer que le point A est le milieu de [MN].

Ce serait vraiment gentil de m'aider!

[dino974]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exercice que j'ai trouvé dans le groupe 3 (concours de cette année). J'ai réussi à faire la figure mais après...

ABC est un triangle dans lequel l’angle de sommet A est aigu.

On considère le cercle de diamètre [bC]. Il coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en

D et E. Les droites (BE) et (CD) se coupent en H.

1) Faire une figure.

2) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

3) Construire sur votre figure, avec la règle non graduée et le compas, le point M, quatrième

sommet du parallélogramme BCMA et le point N, quatrième sommet du

parallélogramme BCAN. On laissera les traits de construction apparents.

4) Démontrer que le point A est le milieu de [MN].

Ce serait vraiment gentil de m'aider!

Bonjour matterhorn,

ci après une tentative de corrigé:

2) BC est le diamètre du cercle et D un point du cercle. L'angle BDC est un angle inscrit dont l'arc intercepté est le demi cercle, l'angle BDC est un angle droit => le triangle BDC est un triangle rectangle.

4) Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de mêmes longueurs 2 à 2.

Or BC est parallèle à AM et BC est parallèle à NA => MAN sont alignés. Ils sont également de même longueur BC = NA = AM

Enfin N et M se trouvent de part et d'autre de A, car parallelogramme BCAN et BCMA

MAN alignés, MA et AN de même longueur et de part et d'autres de A

Donc A est bien milieu de [MN]

[sev24]

Bonjour!

Alors petite précision pour la première question :

[bC] est un diamètre du cercle et D et E sont situés sur le cercle, donc les triangles BDC et EBC sont rectangles.

(BE) est donc la hauteur issue de B dans le triangle ABC et (CD) la hauteur issue de C dans ce même triangle. Comme (BE) et (CD) se coupent en H, H est l'orthocentre. La droite (AH) est donc la troisième hauteur du triangle. D'où (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

[dino974]

Bonjour!

Alors petite précision pour la première question :

[bC] est un diamètre du cercle et D et E sont situés sur le cercle, donc les triangles BDC et EBC sont rectangles.

(BE) est donc la hauteur issue de B dans le triangle ABC et (CD) la hauteur issue de C dans ce même triangle. Comme (BE) et (CD) se coupent en H, H est l'orthocentre. La droite (AH) est donc la troisième hauteur du triangle. D'où (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Oulà, merci Sev.

J'avais certainement lu 2) de démontrer AH et BC perpendiculaires. Mais en réfléchissant à la question, j'ai fini par occulter une partie de la question. Et j'avais fini par croire qu'il fallait démontrer le triangle rectangle BCD. C'a m'inquiète car c'est pas la 1ère fois que c'a m'arrive, va falloir que je sois plus rigoureux, et que je me relise (ainsi que l'énoncé) avant de rendre la copie.

[sev24]

A Dino974

Ah lala heureusement que je suis là!!!

Non plus sérieusement c'est vrai qu'il faut faire super gaffe avec les maths bien relire l'énoncé. Notre prof nous a dit que c'était souvent ça qui plantait les gens au concours : pas lu l'énoncé jusqu'au bout...

Sinon je n'ai pas trop de mérite j'ai eu ce sujet au concours cette année. C'était le premier exo et avec le stress au début j'arrivais trop pas à faire la question. Mais bon finalement j'ai eu 18/20 donc je pense que la correction est ok...

Bon courage!