Questions sur les Bases

[smila94]

Bonjour, je travaille sur les sujets au concours proposés dans le HATIER, mais parfois leurs solutions ne sont pas assez claires pour moi. Par exemple, voici un énoncé qui me pose problème :

Pour écrire un nombre en base seize, on utilise les chiffres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E et F. Trouver l'écriture en base seize du nombre

(4puis3 - 1) x (4puis3 + 1) .

La solution est :

(4puis3 - 1) x (4puis3 + 1) = 4puis6 - 1 = 16puis3 - 1

(utilisation de l'identité remarquable : (a-b) (a+b) = a au carré - b au carré).

Ce nombre est donc le prédécesseur de 16puis3 et il s'écrit FFF.

Voilà, je n'y comprends rien! Pouvez vous m'expliquer en détails leur solution.

Autre point obscur :

On désigne par 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b , les douze chiffres utilisés en base douze. Ecrire en base dix :

-les trois nombres qui s'écrivent a, b, ab, en base douze.

-le produit de a par b .

Voici leur réponse :

BASE DOUZE a b ab a x b

BASE DIX 10 11 131 110

C'est le résulta ab = 131 que je ne comprends pas.

Merci beaucoup !!!

[mistinguette28]

pour le prédécesseur de 16^3 je ne sais pas (et j'aimerais bien savoir aussi si quelqu'un a compris)

pour ab=131:

ab= 11x12^0+10x12^1

ab= 11x1+10x12

ab= 11+120

ab= 131

[smila94]

Merci beaucoup Mistinguette28 !!

Sinon, j'ai un autre souci avec un nouveau sujet de concours:

1) Existe-il une base a de numération de position dans laquelle : 82)a = 3 x (28)a

2) Existe-t-il une base b de numération d position dans laquelle (23)b + ( 53)b = (80)b

Solution : Il suffit de traduire l'égalité en base dix:

(82)a = 3 x (28)a avec a supérieur à 8 signifie :

8xa+ 2= 3 x (2 x a + 8 )

8a + 2 = 6a + 24

2a = 22

a = 11

L'égalité est vraie en base 11 : (82)onze = 3 x (28)onze, les chiffres utilisés étant tous inférieurs à onze.

Je ne comprends pas pourquoi il est dit, au début de la solution, que a est sup à 8, quel est le rapport, d'où vient cette affirmation?

2) L'égalité se traduit par 2b + 3 + 5b + 3 = 8b, avc b supérieur à 8 (puisque le chiffre le plus élevé doit être inférieur à la valeur de la base).

On déduit :

7 b + 6 = 8b, d'où : b = 6 (valeur qui n'est pas supérieure à 8). Il n'existe donc pas de valeur de b répondant à la question.

Idem. Je ne comprends pas le raisonnement du début supérieur à 8, pourquoi cette référence...Quelqu'un pourrait me détailler cette solution, mercii !!

[Héméra]

Bonjour,

Pour comprendre pourquoi le chiffre le plus élevé doit être inferieur à la valeur de la base, tu peux essayer de te replacer en base 10. On ne peut pas écrire 10 dans la colonne des unités.. On s'arrête à 9 puis on passe forcément dans la colonne du rang supérieur (c'est à dire les dizaines) et ainsi de suite.

C'est pour cela qu'il est dit dans la solution que "a" doit forcément être supérieur à 8 (chiffre le plus élevé).

Voilà.. je sais pas si c'est plus clair..

[smila94]

Merci Héméra de m'avoir répondu mais je dois vraiment pas être douée en maths parce que je ne comprends pas pourquoi on prend comme repère 8 en fait, même si j'ai compris ton explication. Comment sait-on qu'il s'agit de cette base???

[Héméra]

On te dit que "a" sera supérieur à 8 car dans l'égalité (82)a = 3 x (28) (ainsi que dans 2b + 3 + 5b + 3 = 8b) c'est 8 le chiffre le plus élevé... On peut donc en déduire que pour qu'il existe une base a il faut que celle-ci soit supérieure à 8. On trouve ensuite que la première égalité est vrai en base 11 (qui est bien supérieure à 8) alors que pour la seconde égalité on trouve b=6 ce qui n'est pas possible car inférieur à 8.

Je ne sais pas si ça répond à ta question..

[histidine]

Bonjour, je travaille sur les sujets au concours proposés dans le HATIER, mais parfois leurs solutions ne sont pas assez claires pour moi. Par exemple, voici un énoncé qui me pose problème :

Pour écrire un nombre en base seize, on utilise les chiffres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E et F. Trouver l'écriture en base seize du nombre

(4puis3 - 1) x (4puis3 + 1) .

La solution est :

(4puis3 - 1) x (4puis3 + 1) = 4puis6 - 1 = 16puis3 - 1

(utilisation de l'identité remarquable : (a-b) (a+b) = a au carré - b au carré).

Ce nombre est donc le prédécesseur de 16puis3 et il s'écrit FFF.

en effet en base 16 (chiffre des unité)+16*(chiffre des dizaine)+16 puiss 2 *(chiffre des centaine) et ainsi de suite

bien sur on parle pas vraiment de dizaine et de centaine mais c'est pour les situer dans le nombre

donc le chiffre qui s'ecrit 16 puiss 3 est en fait : 0+16*0+16 puiss2*0+1 *16puiss 3 soit 1000 or par analogie avec le systeme en base 10 le predecesseur de 100 c'est 99 en effet en enlevant 1 on casse la centaine et on utilise le signe precedent c'est a dire le 9

en base 10 uniité 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

------------dizaines------------------------1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

de même en base 16 et le signe precedent c'est le F

unité 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 0

--------------------------------------------1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

et ainsi de suite jusqu'a f 0 1

-------------------------------f 0 0

-------------------------------f 0 0

---------------------------------1 1

j'espere vous avoir éclairé

Voilà, je n'y comprends rien! Pouvez vous m'expliquer en détails leur solution.

Autre point obscur :

On désigne par 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b , les douze chiffres utilisés en base douze. Ecrire en base dix :

-les trois nombres qui s'écrivent a, b, ab, en base douze.

-le produit de a par b .

Voici leur réponse :

BASE DOUZE a b ab a x b

BASE DIX 10 11 131 110

C'est le résulta ab = 131 que je ne comprends pas.

ab = b + a*12 pui 1=b+a*12 ensuite on remplace a et b par leur valeur en base 12

donc ab = 11+11*12=131

Merci beaucoup !!!

[Dominique]

pour le prédécesseur de 16^3 je ne sais pas (et j'aimerais bien savoir aussi si quelqu'un a compris)

10³ s'écrit 1000 en base dix et son prédécesseur s'écrit, toujours en base dix, 999.

De la même manière :

16³ s'écrit 1000 en base seize et son prédécesseur s'écrit, toujours en base seize, FFF.

(le chiffre F en base seize joue le rôle du chiffre 9 en base dix ; pour s'en convaincre il faut imaginer un compteur fonctionnant en base seize : après FFF "chacune des trois roues passe à 0 et une quatrième roue supplémentaire à gauche passe à 1")

[LuteceOrgiaque]

Justement, ce sujet m'intéresse.....

En cours, on est en plein dedans. Comme je suis arrivée que depuis le 15/9 et que la rentrée était au 8/9, j'ai loupé une semaine complète sur ces "délicieuses" bases...

malgré les explications très sommaires de mon prof (qui m'a gentiment envoyé balader au bout de 2 minutes) et de quelques collègues qui m'ont éclairci quelques points, c'est toujours un sujet très sensible pour moi alors qu'on arrête pas de me dire qu'une fois on a le "déclic" c'est un "jeu d'enfants".

Où pourrais-je trouver sur le net une synthèse me permettant de comprendre rapidement ces bases ?

A défaut, quels ouvrages me conseilleriez-vous ?

Je vous remercie pour vos réponse car je suis dans la panade malgré les nombreuses heures que je consacre à cette matière et désolée si j'ai posté dans le mauvais topic.

[Dominique]

Voir peut-être : http://pernoux.perso.orange.fr/bases.pdf

[LuteceOrgiaque]

Voir peut-être : http://pernoux.perso.orange.fr/bases.pdf

Wouah, ça c'est synthétique et complet en même temps ! merci beaucoup Dominique

Néanmoins, j'ai essayé de m'entraîner et j'ai encore quelques soucis :

exemple 1 : au hasard j'ai tenté de convertir 54927 base 10 en base 8, j'ai trouvé 53217.

Est-ce que c'est ok ?

Sinon, j'ai pas trop eu de problèmes en revanche parfois j'ai des divisions comme par exemple 339 base 10 à convertir en base 4 je sais pas du tout la gérer car je trouve bien à un moment donné , 3 en reste (1ere division en 4) mis sur la 2e division, elle tombe juste avec 21 en quotient.

ça veut dire qe 339 en base 4 ça donne 213 alors ?

Idem y'a une notion que j'arrive pas du tout à assimiler c'est detrouver le nombre précédent ou suivant à une base donnée. En base 10 évidemment ça va sans problèmes mais dès qu'il faut raisonner dans une autre base, je ne comprends plus rien.

exemple : le précédent de 200 en base 10 c'est 199

mais s'il fallait retrouver le précédent de 200 en base 7 , eh bien je ne comprends pas.

Je sais que pour vous ce sont des notions "bateaux" maintenant mais pour moi ce n'est pas le cas mais je ne demande qu'à progresser dans cette nébuleuse que constitue les maths pour moi .

[mistinguette28]

pour le prédécesseur de 16^3 je ne sais pas (et j'aimerais bien savoir aussi si quelqu'un a compris)

10³ s'écrit 1000 en base dix et son prédécesseur s'écrit, toujours en base dix, 999.

De la même manière :

16³ s'écrit 1000 en base seize et son prédécesseur s'écrit, toujours en base seize, FFF.

(le chiffre F en base seize joue le rôle du chiffre 9 en base dix ; pour s'en convaincre il faut imaginer un compteur fonctionnant en base seize : après FFF "chacune des trois roues passe à 0 et une quatrième roue supplémentaire à gauche passe à 1")

merci dominique

expliqué comme ça c'est tout de suite plus clair.